(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em Z12, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
b) 3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a ordem do elemento 3 no conjunto Z12. Aqui, estamos trabalhando com aritmética modular, especificamente no módulo 12. Para resolver isso, precisamos entender o conceito de ordem de um elemento em um grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a ordem de um elemento. Em um grupo, a ordem de um elemento é o menor número positivo que, multiplicado pelo elemento, resulta no elemento neutro do grupo. No caso de Z12, que é um grupo aditivo, o elemento neutro é 0.

Passo 3

Vamos encontrar o menor número inteiro positivo n tal que n cdot 3 = 0 em Z12. Isso significa que 3n deve ser múltiplo de 12, ou seja:
3n equiv 0 pmod12

Passo 4

Para resolver a congruência 3n equiv 0 pmod12, dividimos ambos os lados por 3:
n equiv 0 pmod4
Isso indica que n deve ser múltiplo de 4.

Passo 5

O menor valor positivo de n que satisfaz essa condição é n = 4. Portanto, a ordem de 3 em Z12 é 4.

Resposta

A ordem de 3 em Z12 é 4.

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