Uma nave espacial (fictícia) cujo comprimento próprio é igual a 30 m desloca-se com velocidade igual a
, segundo um observador na Terra. Um tripulante lança uma bola para o alto e a mesma retorna (segundo ele) à sua mão em 3,0 s. Determine o tempo de voo da bola e o comprimento da nave, para o observador na Terra.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma nave espacial com comprimento próprio de 30 metros que se move a uma velocidade de
km/s em relação à Terra. Um tripulante lança uma bola para cima, e ela retorna à sua mão em 3,0 segundos, segundo ele. Precisamos determinar dois valores:
- O tempo de voo da bola para um observador na Terra.
- O comprimento da nave, conforme observado na Terra.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação do tempo e contração do comprimento da Teoria da Relatividade Especial de Einstein.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a dilatação do tempo. A dilatação do tempo acontece quando um objeto está se movendo em relação a um observador; o tempo medido pelo observador que está em repouso será diferente do tempo medido pelo observador em movimento.
A fórmula para a dilatação do tempo é:
onde:
-
é o tempo medido pelo observador na Terra. -
é o tempo próprio (tempo medido pelo tripulante na nave), que é 3,0 s. -
é o fator de Lorentz, dado por:
Passo 3
Vamos calcular o fator de Lorentz (
). Primeiro, precisamos converter a velocidade da nave para unidades do sistema internacional (m/s).
Sabemos que:
No entanto, a velocidade da luz (
) é aproximadamente
m/s. Vamos verificar se a nave está se movendo a uma velocidade relativística (próxima à velocidade da luz).
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo de voo da bola para um observador na Terra (
) usando a fórmula da dilatação do tempo:
Portanto, o tempo de voo da bola, conforme observado na Terra, é de aproximadamente 3,06 segundos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento da nave conforme observado na Terra. Devido ao movimento da nave, seu comprimento será contraído para o observador terrestre. A fórmula para a contração do comprimento é:
onde:
-
é o comprimento observado na Terra. -
é o comprimento próprio da nave, que é 30 m. -
já foi calculado anteriormente ( ).
Vamos então calcular:
Resposta
O tempo de voo da bola, conforme observado na Terra, é de aproximadamente 3,06 segundos, e o comprimento da nave, para o observador na Terra, é de aproximadamente 29,41 metros.
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