Uma nave espacial (fictícia) cujo comprimento próprio é igual a 30 m desloca-se com velocidade igual a 6,0.10^4 km / s, segundo um observador na Terra. Um tripulante lança uma bola para o alto e a mesma retorna (segundo ele) à sua mão em 3,0 s. Determine o tempo de voo da bola e o comprimento da nave, para o observador na Terra.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma nave espacial com comprimento próprio de 30 metros que se move a uma velocidade de km/s em relação à Terra. Um tripulante lança uma bola para cima, e ela retorna à sua mão em 3,0 segundos, segundo ele. Precisamos determinar dois valores:
  1. O tempo de voo da bola para um observador na Terra.
  2. O comprimento da nave, conforme observado na Terra.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação do tempo e contração do comprimento da Teoria da Relatividade Especial de Einstein.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a dilatação do tempo. A dilatação do tempo acontece quando um objeto está se movendo em relação a um observador; o tempo medido pelo observador que está em repouso será diferente do tempo medido pelo observador em movimento.
A fórmula para a dilatação do tempo é:
De
onde:
  • gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o tempo medido pelo observador na Terra.
  • é o tempo próprio (tempo medido pelo tripulante na nave), que é 3,0 s.
  • é o fator de Lorentz, dado por:

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( 6,0 times 10^4 , km/s = 6,0 times 10^7 , m/s ). Primeiro, precisamos converter a velocidade da nave para unidades do sistema internacional (m/s).
Sabemos que:
vc = 6,0 times 10^73,0 times 10^8 = 0,2
No entanto, a velocidade da luz ( gamma = 1raiz1 - (0,2)^2 = 1raiz1 - 0,04 = 1raiz0,96 approx 1,0206 ) é aproximadamente m/s. Vamos verificar se a nave está se movendo a uma velocidade relativística (próxima à velocidade da luz).
Calculando :
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo de voo da bola para um observador na Terra ( De) usando a fórmula da dilatação do tempo:
Portanto, o tempo de voo da bola, conforme observado na Terra, é de aproximadamente 3,06 segundos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento da nave conforme observado na Terra. Devido ao movimento da nave, seu comprimento será contraído para o observador terrestre. A fórmula para a contração do comprimento é:
L = L0gamma
onde:
  • L = 30 , m1,0206 approx 29,41 , m é o comprimento observado na Terra.
  • é o comprimento próprio da nave, que é 30 m.
  • já foi calculado anteriormente ( ).
Vamos então calcular:

Resposta

O tempo de voo da bola, conforme observado na Terra, é de aproximadamente 3,06 segundos, e o comprimento da nave, para o observador na Terra, é de aproximadamente 29,41 metros.

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