É necessário que passe uma corrente de 100 mA pela bobina de um relé para que ele atue. Para fazêlo funcionar com uma fonte de CC são necessários 24 V e para que ele funcione corretamente em CA - 60Hz é necessário uma tensão VRMS=160V. Determine o valor do capacitor que deve ser ligado em série com o relé para que ele funcione numa rede CA de VRMS =120 V em 60 Hz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o valor do capacitor que deve ser ligado em série com a bobina de um relé para que ele funcione numa rede CA de VRMS = 120 V e 60 Hz. Aqui, estamos lidando com circuitos de corrente alternada (CA) e precisamos entender como um capacitor pode ajudar a ajustar a corrente necessária para que o relé funcione corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Corrente necessária para o relé funcionar:
  • Tensão para funcionar com DC:
  • Tensão RMS necessária para funcionar com CA de 60 Hz:
  • Tensão da rede CA que vamos usar:

Passo 3

Vamos tratar o relé como uma resistência equivalente. Sabemos que com 160 V em CA, a corrente é 0,1 A. Então, podemos calcular a resistência equivalente R = VI = 160 , V0,1 , A = 1600 , Omega usando a Lei de Ohm:

Passo 4

Agora, queremos que com uma tensão de 120 V na rede CA, a corrente continue sendo 0,1 A. Para isso, precisamos adicionar um capacitor em série com a resistência do relé para aumentar a impedância total do circuito, limitando a corrente.

Passo 5

A impedância total Z = raizR^2 + XC^2 em um circuito com resistência Z = VI = 120 , V0,1 , A = 1200 , Omega e capacitivo em série é dada por:
Queremos que a corrente seja 0,1 A com uma tensão de 120 V. Então:

Passo 6

Agora, sabemos que:
1200 = raiz1600^2 + XC^2
Vamos isolar 1200^2 = 1600^2 + XC^2 1440000 = 2560000 + XC^2 XC^2 = 1440000 - 2560000 = -1120000 :
Oops! Isso deu um número negativo, o que não faz sentido para potência. Isso indica que com a resistência de 1600 Ω, mesmo sem o capacitor, a impedância é maior que 1200 Ω. Então, precisamos reavaliar nosso modelo.

Passo 7

Na verdade, quando adicionamos um capacitor em série, a impedância total diminui se o capacitor tem baixa reatância, o que é contrário ao que precisamos. Parece que houve um equívoco na abordagem inicial. Vamos tentar uma abordagem diferente considerando a reatância capacitiva necessária para reduzir a tensão efetiva no relé.

Passo 8

Queremos que a tensão no relé seja equivalente a 24 V DC quando conectado à rede CA de 120 V RMS. Então, a relação entre as tensões é:
VreléVrede = 24120 = 0,2 é
Isso significa que a impedância do relé mais o capacitor deve criar uma divisão de tensão onde o relé recebe apenas 20% da tensão total.

Passo 9

A impedância do relé é VreléVrede = RraizR^2 + XC^2 = 0,2 . Vamos chamar a reatância do capacitor de . A relação de divisão de tensão em série é:
é

Passo 10

Vamos resolver para 1600raiz1600^2 + XC^2 = 0,2 raiz1600^2 + XC^2 = 16000,2 = 8000 1600^2 + XC^2 = 8000^2 XC^2 = 8000^2 - 1600^2 = 64,000,000 - 2,560,000 = 61,440,000 XC = raiz61,440,000 approx 7840 , Omega :

Passo 11

Sabemos que a reatância capacitiva XC = 12pi f C é dada por:
C = 12pi f XC
Vamos isolar :
Onde e .

Passo 12

Substituindo os valores:
C = 12 pi times 60 times 7840 approx 12 pi times 60 times 7840 approx 12,958 times 10^6 approx 3,38 times 10^-7 , F
Convertendo para microfarads:
C approx 0,338 , muF

Resposta

O capacitor que deve ser ligado em série com o relé para que ele funcione numa rede CA de VRMS = 120 V em 60 Hz tem um valor aproximado de 0,34 μF.

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