Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja
a massa de uma partícula sujeita ao potencial central
seu momento linear.
© Mostre que
.
© Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula com massa
movendo-se sob a influência de um potencial central
, onde
. O momento linear dessa partícula é dado por
. O que a pergunta quer é que a gente mostre que o produto escalar entre o momento linear
e a posição
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre vetores e usar a definição do momento linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de momento linear. É dado por:
Aqui,
representa a velocidade da partícula.
Passo 3
Agora, queremos calcular o produto escalar entre
e
, ou seja,
. Substituindo a expressão de
, temos:
Passo 4
O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles. No nosso caso, queremos expressar
de uma forma mais útil.
Passo 5
Pensemos na derivada do quadrado do módulo de
:
Isso significa que:
onde
.
Passo 6
Simplificando a derivada, temos:
Portanto:
Passo 7
Voltando à expressão original:
Resposta
Assim, mostramos que: