Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja m a massa de uma partícula sujeita ao potencial central V(r)=-k / r, com k>0, e p=m dotr seu momento linear.
© Mostre que p cdot r=m r dotr.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula com massa movendo-se sob a influência de um potencial central , onde . O momento linear dessa partícula é dado por . O que a pergunta quer é que a gente mostre que o produto escalar entre o momento linear e a posição é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre vetores e usar a definição do momento linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de momento linear. É dado por:
p = m dotr
Aqui, representa a velocidade da partícula.

Passo 3

Agora, queremos calcular o produto escalar entre p cdot r = m dotr cdot r e , ou seja, . Substituindo a expressão de , temos:

Passo 4

O produto escalar entre dois vetores a cdot b = |a| , |b| cos(theta) e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. No nosso caso, queremos expressar de uma forma mais útil.

Passo 5

Pensemos na derivada do quadrado do módulo de ddt ( r cdot r ) = 2 r cdot dotr :
r cdot dotr = 12 ddt ( r^2 )
Isso significa que:
onde .

Passo 6

Simplificando a derivada, temos:
ddt ( r^2 ) = 2 r dotr
Portanto:
r cdot dotr = r dotr

Passo 7

Voltando à expressão original:
p cdot r = m r cdot dotr = m r dotr

Resposta

Assim, mostramos que:
p cdot r = m r dotr

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