Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano x y e está sujeita ao potencial harmônico V(r)=k r^2 / 2, onde k>0 e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questão, faça omega=raizk / m.
(b) Mostre que a quantidade
E=m2[dotr^2+(omega^2-omega0^2) r^2]
não depende do tempo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa E = m2[dotr^2 + (omega^2 - omega0^2) r^2] que se move no plano sob a ação de um potencial harmônico . Além disso, a partícula está ligada de tal forma que o ângulo polar varia com o tempo como . Precisamos mostrar que a quantidade
não depende do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, potencial e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a energia total de uma partícula em movimento é a soma da energia cinética Etotal = T + V e da energia potencial T = m2(dotr^2 + r^2 dotvarphi^2) :
V(r) = 12 k r^2
A energia cinética em coordenadas polares é dada por:
E a energia potencial já foi fornecida:

Passo 3

Substituindo dotvarphi = dvarphidt = omega0 pela expressão dada T = m2(dotr^2 + r^2 omega0^2) , temos:
Então, a energia cinética fica:

Passo 4

Agora, somando a energia cinética e a potencial para obter a energia total:
Etotal = m2(dotr^2 + r^2 omega0^2) + 12 k r^2
Podemos agrupar os termos em Etotal = m2 dotr^2 + 12 (m omega0^2 + k) r^2 :

Passo 5

Sabemos que Etotal = m2 dotr^2 + 12 (m omega0^2 + m omega^2) r^2 , então Etotal = m2 dotr^2 + m2 (omega^2 + omega0^2) r^2 . Substituindo na expressão:
Fatorando nos termos:

Passo 6

Agora, vamos considerar a expressão dada na questão:
E = m2[dotr^2 + (omega^2 - omega0^2) r^2]
Para mostrar que não depende do tempo, precisamos calcular sua derivada em relação ao tempo e mostrar que ela é igual a zero.

Passo 7

Calculando a derivada de dEdt = m2[2 dotr ddotr + 2 (omega^2 - omega0^2) r dotr] em relação ao tempo:
dEdt = m dotr ddotr + m (omega^2 - omega0^2) r dotr
Simplificando:

Passo 8

Fatorando dEdt = m dotr ( ddotr + (omega^2 - omega0^2) r ) :
ddotr + (omega^2 - omega0^2) r = 0
Para que , o termo dentro dos parênteses deve ser zero:

Passo 9

Esta é a equação do movimento para a partícula sob o potencial dado e a restrição imposta. Isso significa que a expressão para é constante no tempo, ou seja, não depende do tempo.

Resposta

A quantidade é constante no tempo e não depende do tempo.

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