Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial harmônico
, onde
e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questão, faça
.
(b) Mostre que a quantidade
não depende do tempo.
(b) Mostre que a quantidade
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
que se move no plano
sob a ação de um potencial harmônico
. Além disso, a partícula está ligada de tal forma que o ângulo polar
varia com o tempo como
. Precisamos mostrar que a quantidade
não depende do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica clássica, como energia cinética, potencial e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a energia total de uma partícula em movimento é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
A energia cinética em coordenadas polares é dada por:
E a energia potencial já foi fornecida:
Passo 3
Substituindo
pela expressão dada
, temos:
Então, a energia cinética fica:
Passo 4
Agora, somando a energia cinética e a potencial para obter a energia total:
Podemos agrupar os termos em
:
Passo 5
Sabemos que
, então
. Substituindo na expressão:
Fatorando
nos termos:
Passo 6
Agora, vamos considerar a expressão dada na questão:
Para mostrar que
não depende do tempo, precisamos calcular sua derivada em relação ao tempo e mostrar que ela é igual a zero.
Passo 7
Calculando a derivada de
em relação ao tempo:
Simplificando:
Passo 8
Fatorando
:
Para que
, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Passo 9
Esta é a equação do movimento para a partícula sob o potencial dado e a restrição imposta. Isso significa que a expressão para
é constante no tempo, ou seja, não depende do tempo.
Resposta
A quantidade
é constante no tempo e não depende do tempo.