Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja
a massa de uma partícula sujeita ao potencial central
seu momento linear.
(a) Escreva a equação de movimento (Segunda Lei de Newton) para a partícula.
(a) Escreva a equação de movimento (Segunda Lei de Newton) para a partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o Problema de Kepler, que envolve uma partícula com massa
sujeita a um potencial central
, onde
. A gente precisa usar a Segunda Lei de Newton para escrever a equação de movimento dessa partícula. Para isso, vamos precisar entender conceitos de força, aceleração e como elas se relacionam com potenciais em física.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Segunda Lei de Newton, que diz que a força total
exercida sobre um objeto é igual à massa
desse objeto multiplicada pela sua aceleração
:
No nosso caso, a aceleração
é a segunda derivada da posição
em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual é a força
que está agindo sobre a partícula. Como a partícula está sujeita a um potencial central
, a força pode ser derivada desse potencial. A relação entre a força e o potencial é dada por:
Para um potencial que depende apenas da distância
, isso simplifica para:
onde
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
Vamos calcular a derivada do potencial
em relação a
:
Então, a força fica:
Passo 5
Agora que temos a expressão para a força, vamos igualá-la à massa vezes a aceleração, conforme a Segunda Lei de Newton:
Isso é a equação de movimento da partícula sob o potencial central dado.
Resposta
A equação de movimento para a partícula é: