Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja m a massa de uma partícula sujeita ao potencial central V(r)=-k / r, com k>0, e p=m dotr seu momento linear.
(a) Escreva a equação de movimento (Segunda Lei de Newton) para a partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o Problema de Kepler, que envolve uma partícula com massa sujeita a um potencial central , onde . A gente precisa usar a Segunda Lei de Newton para escrever a equação de movimento dessa partícula. Para isso, vamos precisar entender conceitos de força, aceleração e como elas se relacionam com potenciais em física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Segunda Lei de Newton, que diz que a força total F = m a exercida sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração :
No nosso caso, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual é a força F = -nabla V(r) que está agindo sobre a partícula. Como a partícula está sujeita a um potencial central F = -dVdr r , a força pode ser derivada desse potencial. A relação entre a força e o potencial é dada por:
Para um potencial que depende apenas da distância , isso simplifica para:
onde é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Vamos calcular a derivada do potencial dVdr = ddr ( -kr ) = kr^2 em relação a F = -kr^2 r :
Então, a força fica:

Passo 5

Agora que temos a expressão para a força, vamos igualá-la à massa vezes a aceleração, conforme a Segunda Lei de Newton:
m ddotr = -kr^2 r
Isso é a equação de movimento da partícula sob o potencial central dado.

Resposta

A equação de movimento para a partícula é:
m, ddotr = -kr^2, r

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