Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial harmônico
, onde
e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questão, faça
.
© Interpretando
como um potencial efetivo, estude qualitativamente os movimentos possíveis como função de
para
e
.
© Interpretando
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
se movendo no plano
sob um potencial harmônico
. Além disso, a partícula está sujeita a um vínculo que faz com que o ângulo
varie no tempo como
. Definimos
. A questão quer que a gente interprete o potencial efetivo
e estude qualitativamente os movimentos possíveis em função da energia
, considerando os casos
e
. Vamos precisar entender conceitos de potenciais efetivos e como eles influenciam o movimento das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o potencial efetivo dado por
. Esse potencial nos mostra como a energia potencial depende da distância
da partícula ao ponto de equilíbrio, considerando a rotação com velocidade angular
.
Passo 3
Vamos considerar dois casos separados: quando
e quando
.
Caso 1:
Nesse caso, o coeficiente
é positivo, portanto o potencial efetivo
é proporcional a
com coeficiente positivo. Isso significa que o potencial efetivo funciona como uma espécie de “recinto” que mantém a partícula próxima do ponto de equilíbrio. A energia potencial aumenta com o aumento de
, então a partícula terá movimentos oscilatórios ao redor do ponto de equilíbrio, semelhantes aos de um oscilador harmônico.
Passo 4
Caso 2:
Aqui, o coeficiente
é negativo, fazendo com que o potencial efetivo
tenha um sinal invertido, ou seja, proporcional a
. Isso cria uma situação de potencial repulsivo, onde a energia potencial diminui à medida que
aumenta. Nesse cenário, não há um ponto de equilíbrio estável, e a partícula pode se afastar indefinidamente do centro, resultando em movimentos que se distanciam cada vez mais do ponto de equilíbrio.
Passo 5
Resumindo, ao interpretar o potencial efetivo
:
-
Para
: O potencial efetivo é restritivo, permitindo apenas movimentos oscilatórios em torno do ponto de equilíbrio, já que a energia potencial aumenta com . -
Para
: O potencial efetivo é repulsivo, permitindo que a partícula se afaste indefinidamente, já que a energia potencial diminui com .
Resposta
Assim, os movimentos possíveis variam conforme:
-
: A partícula realiza movimentos oscilatórios confinados ao redor do ponto de equilíbrio. -
: A partícula pode se afastar indefinidamente do centro, sem restrição.