Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano x y e está sujeita ao potencial harmônico V(r)=k r^2 / 2, onde k>0 e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questão, faça omega=raizk / m.
© Interpretando Vef=(m / 2)(omega^2-omega0^2) r^2 como um potencial efetivo, estude qualitativamente os movimentos possíveis como função de E para omega>omega0 e omega.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa se movendo no plano sob um potencial harmônico . Além disso, a partícula está sujeita a um vínculo que faz com que o ângulo varie no tempo como . Definimos . A questão quer que a gente interprete o potencial efetivo e estude qualitativamente os movimentos possíveis em função da energia , considerando os casos e . Vamos precisar entender conceitos de potenciais efetivos e como eles influenciam o movimento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o potencial efetivo dado por . Esse potencial nos mostra como a energia potencial depende da distância da partícula ao ponto de equilíbrio, considerando a rotação com velocidade angular .

Passo 3

Vamos considerar dois casos separados: quando e quando .
Caso 1:
Nesse caso, o coeficiente é positivo, portanto o potencial efetivo é proporcional a com coeficiente positivo. Isso significa que o potencial efetivo funciona como uma espécie de “recinto” que mantém a partícula próxima do ponto de equilíbrio. A energia potencial aumenta com o aumento de , então a partícula terá movimentos oscilatórios ao redor do ponto de equilíbrio, semelhantes aos de um oscilador harmônico.

Passo 4

Caso 2:
Aqui, o coeficiente é negativo, fazendo com que o potencial efetivo tenha um sinal invertido, ou seja, proporcional a . Isso cria uma situação de potencial repulsivo, onde a energia potencial diminui à medida que aumenta. Nesse cenário, não há um ponto de equilíbrio estável, e a partícula pode se afastar indefinidamente do centro, resultando em movimentos que se distanciam cada vez mais do ponto de equilíbrio.

Passo 5

Resumindo, ao interpretar o potencial efetivo :
  • Para : O potencial efetivo é restritivo, permitindo apenas movimentos oscilatórios em torno do ponto de equilíbrio, já que a energia potencial aumenta com .
  • Para : O potencial efetivo é repulsivo, permitindo que a partícula se afaste indefinidamente, já que a energia potencial diminui com .

Resposta

Assim, os movimentos possíveis variam conforme:
  • : A partícula realiza movimentos oscilatórios confinados ao redor do ponto de equilíbrio.
  • : A partícula pode se afastar indefinidamente do centro, sem restrição.

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