Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja
a massa de uma partícula sujeita ao potencial central
seu momento linear.
(b) Mostre que o momento angular
é uma constante de movimento. Interprete.
(b) Mostre que o momento angular
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que está sob a influência de um potencial central
, onde
. O momento linear dessa partícula é dado por
. A pergunta quer que a gente mostre que o momento angular
é uma constante de movimento e que a gente interprete isso. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre leis de movimento e propriedades dos momentos angulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma constante de movimento. Um quantidade é constante de movimento se sua derivada em relação ao tempo é zero, ou seja, ela não muda com o tempo. Então, para mostrar que
é uma constante de movimento, a gente precisa calcular a derivada de
em relação ao tempo e mostrar que ela é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 4
Observamos que
, já que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero. Então, a primeira parte desaparece:
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Pela segunda lei de Newton, sabemos que
, onde
é a força atuando na partícula. Como a partícula está sujeita a um potencial central
, a força é o gradiente negativo do potencial:
Para
, calculamos o gradiente:
Então,
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Como
é o vetor unitário na direção de
, podemos escrever
. Substituindo:
Passo 7
Agora, observamos que o produto vetorial de
com ele mesmo é zero:
Portanto:
Resposta
Como
, concluímos que o momento angular
é uma constante de movimento. Isso significa que o momento angular da partícula não muda com o tempo, indicando que a força central mantém a rotação da partícula em um plano fixo, sem causar variação na sua quantidade de movimento angular.