Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja m a massa de uma partícula sujeita ao potencial central V(r)=-k / r, com k>0, e p=m dotr seu momento linear.
(b) Mostre que o momento angular l=r times p é uma constante de movimento. Interprete.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que está sob a influência de um potencial central , onde . O momento linear dessa partícula é dado por . A pergunta quer que a gente mostre que o momento angular é uma constante de movimento e que a gente interprete isso. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre leis de movimento e propriedades dos momentos angulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma constante de movimento. Um quantidade é constante de movimento se sua derivada em relação ao tempo é zero, ou seja, ela não muda com o tempo. Então, para mostrar que é uma constante de movimento, a gente precisa calcular a derivada de em relação ao tempo e mostrar que ela é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular dldt = drdt times p + r times dpdt . Sabemos que dldt = dotr times m dotr + r times dpdt . Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Sabendo que e , substituímos:

Passo 4

Observamos que dldt = r times dpdt , já que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero. Então, a primeira parte desaparece:

Passo 5

Agora precisamos calcular F = -nabla V(r) . Pela segunda lei de Newton, sabemos que F = -( ddr (-kr) ) r = -( kr^2 ) r , onde F = -kr^2 r é a força atuando na partícula. Como a partícula está sujeita a um potencial central , a força é o gradiente negativo do potencial:
Para , calculamos o gradiente:
Então,

Passo 6

Substituindo dldt = r times ( -kr^2 r ) na expressão de dldt = r times ( -kr^2 cdot rr ) = r times ( -kr^3 r ) :
Como é o vetor unitário na direção de , podemos escrever . Substituindo:

Passo 7

Agora, observamos que o produto vetorial de r times r = 0 com ele mesmo é zero:
dldt = 0
Portanto:

Resposta

Como , concluímos que o momento angular é uma constante de movimento. Isso significa que o momento angular da partícula não muda com o tempo, indicando que a força central mantém a rotação da partícula em um plano fixo, sem causar variação na sua quantidade de movimento angular.

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