Resolva cada um dos PVI x dy/dx + 2y = sen(x)/x, y(pi) = 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos dividindo por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução do PVI é:

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