Resolva cada um dos PVI
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator nos ajudará a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução do PVI é:
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fazendo uma demonstração por contradição.
Demonstração:
, o que é uma contradição.
Faça a demonstração arrastando os blocos abaixo para os espaços acima de modo a obter uma demonstração por contradição para a afirmação do enunciado.
suponha que é par e que
-7 é par
assim, 7 é par
Iogo , e portanto
então existe inteiro tal que
e
Demonstração:
Faça a demonstração arrastando os blocos abaixo para os espaços acima de modo a obter uma demonstração por contradição para a afirmação do enunciado.
suponha que
assim, 7 é par
Iogo
então existe
subtraindo
em ambos os lados, obtemos
então para algum inteiro k e
para algum inteiro j
logo , e portanto
então para algum inteiro
e
para algum inteiro j
dividindo por 2 em ambos os lados, obtemos
então
logo
então
dividindo por 2 em ambos os lados, obtemos
então
para algum inteiro
e
para algum inteiro
Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
Use o item acima para verificar que a solução satisfaz
Use o item acima para verificar que a solução
onde
é uma constante.
Escreva a resposta final de cada item usando ponto flutuante com quatro dígitos. (a) Arredonde o número
,
, usando quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.