Resolva cada um dos PVI

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos dividindo por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução do PVI é:

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fazendo uma demonstração por contradição.
Demonstração:

, o que é uma contradição.
Faça a demonstração arrastando os blocos abaixo para os espaços acima de modo a obter uma demonstração por contradição para a afirmação do enunciado.
suponha que é par e que -7 é par
assim, 7 é par
Iogo , e portanto
então existe inteiro tal que e
subtraindo em ambos os lados, obtemos
então para algum inteiro k e para algum inteiro j
logo , e portanto
então para algum inteiro e para algum inteiro j
dividindo por 2 em ambos os lados, obtemos
então para algum inteiro e para algum inteiro
Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável .
Use o item acima para verificar que a solução satisfaz
onde é uma constante.
Escreva a resposta final de cada item usando ponto flutuante com quatro dígitos. (a) Arredonde o número , , usando quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.