Resolva cada um dos PVI d y/d x = (x^3 - 2 y) / x, y(2) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que a gente tem aqui. A equação diferencial dada é:
Isso envolve cálculo de equações diferenciais, especificamente uma equação linear de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos padrão de uma equação linear:
Aqui, colocamos a equação no formato:
onde e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ), que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

A equação agora fica:
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Aplicando a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução do PVI é:

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