Resolva cada um dos PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que a gente tem aqui. A equação diferencial dada é:
Isso envolve cálculo de equações diferenciais, especificamente uma equação linear de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos padrão de uma equação linear:
Aqui, colocamos a equação no formato:
onde e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ), que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

A equação agora fica:
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Aplicando a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

fazendo uma demonstração por contradição.
Demonstração:

, o que é uma contradição.
Faça a demonstração arrastando os blocos abaixo para os espaços acima de modo a obter uma demonstração por contradição para a afirmação do enunciado.
suponha que é par e que -7 é par
assim, 7 é par
Iogo , e portanto
então existe inteiro tal que e
subtraindo em ambos os lados, obtemos
então para algum inteiro k e para algum inteiro j
logo , e portanto
então para algum inteiro e para algum inteiro j
dividindo por 2 em ambos os lados, obtemos
então para algum inteiro e para algum inteiro
Se ( 7 é par e ) então 3 é par.
Resolva cada um dos PVI
Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável .
Use o item acima para verificar que a solução satisfaz
onde é uma constante.