A nonuniform linear charge distribution given by lambda=b x, where b is a constant, is located along an x axis from x=0 to x= 0.20 m . If b=20 nC / m^2 and V=0 at infinity, what is the electric potential at (a) the origin and (b) the point y=0.15 m on the y axis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que envolve determinar o potencial elétrico em dois pontos diferentes devido a uma distribuição de carga não uniforme ao longo do eixo . A distribuição de carga é dada por , onde é uma constante. Precisamos encontrar o potencial elétrico no ponto de origem e em um ponto específico no eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, mais especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição linear de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico ( V = 14pivarepsilon0 integral lambda(x) , dxr ) em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga é uma medida da energia potencial por unidade de carga nesse ponto. Para uma distribuição contínua de carga, o potencial é calculado integrando a contribuição de cada pequeno elemento de carga ao longo da distribuição.
A fórmula geral para o potencial elétrico devido a uma distribuição linear de carga é:
Onde:
  • é a densidade linear de carga em função de .
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o potencial.
  • é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 3

Vamos calcular o potencial no ponto (a) a origem e (b) no ponto Vori>=m = 14pivarepsilon0 integral0^0,20 b cdot x , dxx = b4pivarepsilon0 integral0^0,20 dx no eixo r = raizx^2 + y^2 = raizx^2 + (0,15)^2 .

(a) Potencial na Origem

No ponto de origem ( Vy=0,15 = 14pivarepsilon0 integral0^0,20 b cdot x , dxraizx^2 + (0,15)^2 ), a distância de um elemento de carga em até a origem é simplesmente . Assim, a expressão para o potencial fica:
Note que no numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral.

(b) Potencial no Ponto

No ponto , a distância de um elemento de carga em até esse ponto é dada pelo teorema de Pitágoras:
Então, a expressão para o potencial fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver as integrais.

(a) Potencial na Origem

A integral simplifica para:
Vori>=m = b4pivarepsilon0 integral0^0,20 dx = b4pivarepsilon0 [ x ]0^0,20 = b4pivarepsilon0 times 0,20
Substituindo os valores:
b = 20 , nC/m^2 = 20 times 10^-9 , C/m^2
varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2
Então:
Vori>=m = 20 times 10^-9 times 0,204pi times 8,85 times 10^-12
Calculando:
Vori>=m approx 4 times 10^-91,112 times 10^-10 approx 36 , V

(b) Potencial no Ponto u = x^2 + (0,15)^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx

A integral para este caso é um pouco mais complexa. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Vy=0,15 = b4pivarepsilon0 integral x , dxraizx^2 + (0,15)^2 = b4pivarepsilon0 integral du/2raizu = b8pivarepsilon0 integral u^-1/2 , du
Substituindo na integral:
integral u^-1/2 , du = 2raizu + C
Integrando:
Vy=0,15 = b8pivarepsilon0 times 2raizu |0^0,20
Então:
Vy=0,15 = b4pivarepsilon0 [ raizx^2 + (0,15)^2 ]0^0,20
Vy=0,15 = 20 times 10^-94pi times 8,85 times 10^-12 [ raiz(0,20)^2 + (0,15)^2 - raiz0 + (0,15)^2 ]
Substituindo os limites:
raiz0,20^2 + 0,15^2 = raiz0,04 + 0,0225 = raiz0,0625 = 0,25 , m
Calculando as raízes:
raiz0 + 0,0225 = 0,15 , m
Vy=0,15 = 20 times 10^-91,112 times 10^-10 (0,25 - 0,15) = 20 times 10^-91,112 times 10^-10 times 0,10
Portanto:
Vy=0,15 approx 2 times 10^-91,112 times 10^-10 approx 18 , V

Resposta

(a) O potencial elétrico na origem é de aproximadamente 36 V.
(b) O potencial elétrico no ponto é de aproximadamente 18 V.

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