A nonuniform linear charge distribution given by , where is a constant, is located along an axis from to 0.20 m . If and at infinity, what is the electric potential at (a) the origin and (b) the point on the axis?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que envolve determinar o potencial elétrico em dois pontos diferentes devido a uma distribuição de carga não uniforme ao longo do eixo . A distribuição de carga é dada por , onde é uma constante. Precisamos encontrar o potencial elétrico no ponto de origem e em um ponto específico no eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, mais especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição linear de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico () em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga é uma medida da energia potencial por unidade de carga nesse ponto. Para uma distribuição contínua de carga, o potencial é calculado integrando a contribuição de cada pequeno elemento de carga ao longo da distribuição.
A fórmula geral para o potencial elétrico devido a uma distribuição linear de carga é:
Onde:
é a densidade linear de carga em função de .
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o potencial.
é a permissividade do vácuo ().
Passo 3
Vamos calcular o potencial no ponto (a) a origem e (b) no ponto no eixo .
(a) Potencial na Origem
No ponto de origem (), a distância de um elemento de carga em até a origem é simplesmente . Assim, a expressão para o potencial fica:
Note que no numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral.
(b) Potencial no Ponto
No ponto , a distância de um elemento de carga em até esse ponto é dada pelo teorema de Pitágoras:
Então, a expressão para o potencial fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver as integrais.
(a) Potencial na Origem
A integral simplifica para:
Substituindo os valores:
Então:
Calculando:
(b) Potencial no Ponto
A integral para este caso é um pouco mais complexa. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
Substituindo os limites:
Calculando as raízes:
Portanto:
Resposta
(a) O potencial elétrico na origem é de aproximadamente 36 V.
(b) O potencial elétrico no ponto é de aproximadamente 18 V.