A nonuniform linear charge distribution given by , where is a constant, is located along an axis from to 0.20 m . If and at infinity, what is the electric potential at (a) the origin and (b) the point on the axis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que envolve determinar o potencial elétrico em dois pontos diferentes devido a uma distribuição de carga não uniforme ao longo do eixo . A distribuição de carga é dada por , onde é uma constante. Precisamos encontrar o potencial elétrico no ponto de origem e em um ponto específico no eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, mais especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição linear de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico ( ) em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga é uma medida da energia potencial por unidade de carga nesse ponto. Para uma distribuição contínua de carga, o potencial é calculado integrando a contribuição de cada pequeno elemento de carga ao longo da distribuição.
A fórmula geral para o potencial elétrico devido a uma distribuição linear de carga é:
Onde:
  • é a densidade linear de carga em função de .
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o potencial.
  • é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 3

Vamos calcular o potencial no ponto (a) a origem e (b) no ponto no eixo .

(a) Potencial na Origem

No ponto de origem ( ), a distância de um elemento de carga em até a origem é simplesmente . Assim, a expressão para o potencial fica:
Note que no numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral.

(b) Potencial no Ponto

No ponto , a distância de um elemento de carga em até esse ponto é dada pelo teorema de Pitágoras:
Então, a expressão para o potencial fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver as integrais.

(a) Potencial na Origem

A integral simplifica para:
Substituindo os valores:
Então:
Calculando:

(b) Potencial no Ponto

A integral para este caso é um pouco mais complexa. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
Substituindo os limites:
Calculando as raízes:
Portanto:

Resposta

(a) O potencial elétrico na origem é de aproximadamente 36 V.
(b) O potencial elétrico no ponto é de aproximadamente 18 V.

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