What is the magnitude of the electric field at the point (3.00 i-2.00 j+4.00 k) m if the electric potential is given by V= 2.00 x y z^2, where V is in volts and x, y, and z are in meters?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a magnitude do campo elétrico num ponto específico, dado que o potencial elétrico é . Para isso, vamos usar o conceito de que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente do potencial . O gradiente ( ) envolve as derivadas parciais de em relação a cada uma das coordenadas: , e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial Vpartial x = partialpartial x (2.00 , x , y , z^2) = 2.00 , y , z^2 em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de partial Vpartial y = partialpartial y (2.00 , x , y , z^2) = 2.00 , x , z^2 em relação a :

Passo 5

E a derivada parcial de partial Vpartial z = partialpartial z (2.00 , x , y , z^2) = 4.00 , x , y , z em relação a :

Passo 6

Assim, o gradiente de nabla V = ( 2.00 , y , z^2 ) i + ( 2.00 , x , z^2 ) j + ( 4.00 , x , y , z ) k é:

Passo 7

O campo elétrico E = -nabla V = -2.00 , y , z^2 i - 2.00 , x , z^2 j - 4.00 , x , y , z k é o gradiente negativo de :

Passo 8

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto E = -2.00 times (-2.00) times (4.00)^2 i - 2.00 times 3.00 times (4.00)^2 j - 4.00 times 3.00 times (-2.00) times 4.00 k na expressão de :

Passo 9

Vamos calcular cada componente:
Ex = -2.00 times (-2.00) times 16 = 64 , V/m
Ey = -2.00 times 3.00 times 16 = -96 , V/m
Ez = -4.00 times 3.00 times (-2.00) times 4.00 = 96 , V/m

Passo 10

Agora, a magnitude do campo elétrico |E| = raizEx^2 + Ey^2 + Ez^2 = raiz64^2 + (-96)^2 + 96^2 approx raiz4096 + 9216 + 9216 = raiz22528 approx 150 , V/m é dada por:

Resposta

A magnitude do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente .

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