Normalize a função de onda Psi(x, t)=A e^(k x-omega t) entre -a e +a. Por que a função não pode ser normalizada entre -infty e +infty ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para normalizar a função de onda Psi(x, t) = A e^(k x - omega t) no intervalo de -a a +a. Normalizar uma função de onda significa ajustar o valor de A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula nesse intervalo seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integral da função de onda ao quadrado nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização. Queremos que a integral do módulo ao quadrado da função de onda de -a a +a seja igual a 1:
integral-a^+a |Psi(x, t)|^2 , dx = 1

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x, t)|^2. Como Psi(x, t) = A e^(k x - omega t), o módulo ao quadrado é:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 e^2k x

Passo 4

Substituindo na condição de normalização:
integral-a^+a A^2 e^2k x , dx = 1
Como A^2 é constante, podemos tirá-lo da integral:
A^2 integral-a^+a e^2k x , dx = 1

Passo 5

Vamos resolver a integral integral e^2k x , dx:
integral e^2k x , dx = 12k e^2k x + C
Aplicando os limites de -a a +a:
12k ( e^2k a - e^-2k a )

Passo 6

Substituindo de volta na equação de normalização:
A^2 cdot 12k ( e^2k a - e^-2k a ) = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 2ke^2k a - e^-2k a

Passo 7

Simplificando usando a identidade e^2k a - e^-2k a = 2 sinh(2k a):
A^2 = 2k2 sinh(2k a) = ksinh(2k a)
Então, o valor de A é:
A = raiz ksinh(2k a)

Passo 8

Agora, por que a função não pode ser normalizada entre -infty e +infty? Se tentarmos normalizar em todo o espaço, a integral de |Psi(x, t)|^2 se tornaria:
integral-infty^+infty A^2 e^2k x , dx
Como e^2k x cresce exponencialmente para x to +infty, essa integral tende ao infinito. Isso significa que não existe um valor finito de A que satisfaça a condição de normalização em todo o espaço.

Resposta

O constante de normalização é A = raiz dfracksinh(2k a) . Além disso, a função Psi(x, t) = A e^(k x - omega t) não pode ser normalizada no intervalo -infty a +infty porque a integral de |Psi(x, t)|^2 nesse intervalo diverge para infinito.

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