Normalizem os vetores abaixo:
Ainda, após normalizados, esse conjunto de vetores é ortonormal? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizarmos um conjunto de matrizes e depois verificar se, após a normalização, esse conjunto é ortonormal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores, norma e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor (ou matriz, aqui tratando como vetor) e como verificar a ortogonalidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma matriz. Na álgebra linear, normalizar um vetor significa ajustar seu comprimento (ou norma) para que seja igual a 1. Para uma matriz, tratamos ela como um vetor de quatro componentes. A norma de uma matriz é dada por:
Onde são os elementos da matriz.

Passo 3

Vamos começar com a primeira matriz:
Calculando a norma de :
Para normalizar , dividimos cada elemento pela norma:

Passo 4

Agora, a segunda matriz:
Calculando a norma de :
Normalizando :

Passo 5

Vamos para a terceira matriz:
Calculando a norma de :
Normalizando :

Passo 6

Por fim, a quarta matriz:
Calculando a norma de :
Normalizando :

Passo 7

Agora que normalizamos todas as matrizes, precisamos verificar se esse conjunto é ortonormal. Um conjunto é ortonormal se todas as matrizes (ou vetores) são normadas (já garantimos isso) e são ortogonais entre si, ou seja, o produto interno entre duas matrizes distintas é zero.
Vamos calcular o produto interno entre cada par de matrizes normalizadas. O produto interno de duas matrizes e é dado por:

Passo 8

Vamos verificar a ortogonalidade entre e :
Como o produto interno não é zero, as matrizes não são ortogonais.

Resposta

Após a normalização, o conjunto de matrizes não é ortonormal, pois nem todas as matrizes são ortogonais entre si.

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Sejam r e s retas no plano Cartesiano dadas respectivamente por
(a) Prove que se então r e s são perpendiculares.
(b) Prove que se então r e s são paralelas.
Sejam e . Identifique os casos em que temos um produto interno definido em . Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
d)
Sejam e . Mostre que é um conjunto ortonormal quando tem como produto interno a relação abaixo
mas não é um conjunto ortonormal em com o produto interno usual.
Sejam o ponto e o vetor não nulo . Se é um vetor não nulo paralelo a , demonstrar que os vetores determinam a mesma reta que passa por .