Normalizem os vetores abaixo:
[ll 1 & 0 0 & 1 ],[ll 1 & 1 0 & 0 ],[ll 1 & 0 1 & 1 ],[ll 1 & 1 1 & 1 ]
Ainda, após normalizados, esse conjunto de vetores é ortonormal? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizarmos um conjunto de matrizes e depois verificar se, após a normalização, esse conjunto é ortonormal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores, norma e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor (ou matriz, aqui tratando como vetor) e como verificar a ortogonalidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma matriz. Na álgebra linear, normalizar um vetor significa ajustar seu comprimento (ou norma) para que seja igual a 1. Para uma matriz, tratamos ela como um vetor de quatro componentes. A norma de uma matriz |A| = raiza11^2 + a12^2 + a21^2 + a22^2 é dada por:
Onde são os elementos da matriz.

Passo 3

Vamos começar com a primeira matriz:
A1 = 1 & 0 0 & 1
Calculando a norma de |A1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 0 + 1 = raiz2 :
A1^normalizado = 1raiz2 1 & 0 0 & 1 = 1raiz2 & 0 0 & 1raiz2
Para normalizar , dividimos cada elemento pela norma:

Passo 4

Agora, a segunda matriz:
A2 = 1 & 1 0 & 0
Calculando a norma de |A2| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 + 0 = raiz2 :
A2^normalizado = 1raiz2 1 & 1 0 & 0 = 1raiz2 & 1raiz2 0 & 0
Normalizando :

Passo 5

Vamos para a terceira matriz:
A3 = 1 & 0 1 & 1
Calculando a norma de |A3| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 + 1 = raiz3 :
A3^normalizado = 1raiz3 1 & 0 1 & 1 = 1raiz3 & 0 1raiz3 & 1raiz3
Normalizando :

Passo 6

Por fim, a quarta matriz:
A4 = 1 & 1 1 & 1
Calculando a norma de |A4| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 + 1 = raiz4 = 2 :
A4^normalizado = 12 1 & 1 1 & 1 = 12 & 12 12 & 12
Normalizando :

Passo 7

Agora que normalizamos todas as matrizes, precisamos verificar se esse conjunto é ortonormal. Um conjunto é ortonormal se todas as matrizes (ou vetores) são normadas (já garantimos isso) e são ortogonais entre si, ou seja, o produto interno entre duas matrizes distintas é zero.
Vamos calcular o produto interno entre cada par de matrizes normalizadas. O produto interno de duas matrizes lang<= A, B rang<= = a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22 e é dado por:

Passo 8

Vamos verificar a ortogonalidade entre lang<= A1, A2 rang<= = (1raiz2)(1raiz2) + 0 cdot 1raiz2 + 0 cdot 0 + 1raiz2 cdot 0 = 12 + 0 + 0 + 0 = 12 neq 0 e :
Como o produto interno não é zero, as matrizes não são ortogonais.

Resposta

Após a normalização, o conjunto de matrizes não é ortonormal, pois nem todas as matrizes são ortogonais entre si.

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