Normalizem os vetores abaixo:
Ainda, após normalizados, esse conjunto de vetores é ortonormal? Justifique
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizarmos um conjunto de matrizes e depois verificar se, após a normalização, esse conjunto é ortonormal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores, norma e ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor (ou matriz, aqui tratando como vetor) e como verificar a ortogonalidade entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma matriz. Na álgebra linear, normalizar um vetor significa ajustar seu comprimento (ou norma) para que seja igual a 1. Para uma matriz, tratamos ela como um vetor de quatro componentes. A norma de uma matriz
é dada por:
Onde
são os elementos da matriz.
Passo 3
Vamos começar com a primeira matriz:
Calculando a norma de
:
Para normalizar
, dividimos cada elemento pela norma:
Passo 4
Agora, a segunda matriz:
Calculando a norma de
:
Normalizando
:
Passo 5
Vamos para a terceira matriz:
Calculando a norma de
:
Normalizando
:
Passo 6
Por fim, a quarta matriz:
Calculando a norma de
:
Normalizando
:
Passo 7
Agora que normalizamos todas as matrizes, precisamos verificar se esse conjunto é ortonormal. Um conjunto é ortonormal se todas as matrizes (ou vetores) são normadas (já garantimos isso) e são ortogonais entre si, ou seja, o produto interno entre duas matrizes distintas é zero.
Vamos calcular o produto interno entre cada par de matrizes normalizadas. O produto interno de duas matrizes
e
é dado por:
Passo 8
Vamos verificar a ortogonalidade entre
e
:
Como o produto interno não é zero, as matrizes não são ortogonais.
Resposta
Após a normalização, o conjunto de matrizes não é ortonormal, pois nem todas as matrizes são ortogonais entre si.
Exercícios relacionados
Sejam r e s retas no plano Cartesiano dadas respectivamente por
(a) Prove que se
então r e s são perpendiculares.
(b) Prove que se então r e s são paralelas.
(b) Prove que se
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
d)
d)
Sejam
e
. Mostre que
é um conjunto ortonormal quando
tem como produto interno a relação abaixo
mas não é um conjunto ortonormal em
com o produto interno usual.
Sejam o ponto
e o vetor não nulo
. Se
é um vetor não nulo paralelo a
, demonstrar que os vetores
determinam a mesma reta
que passa por
.