Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional,
e
. A questão é verificar se o produto definido por
é um produto interno em
. Para isso, precisamos lembrar quais propriedades um produto interno deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que definem um produto interno:
- Simetria:
. - Linearidade: O produto interno é linear em cada um dos seus argumentos.
- Positividade:
e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto dado.
Passo 3
1. Simetria:
Vamos trocar
e
no produto:
Comparando com
, fica claro que:
Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer escalares
e
, e vetores
e
:
Como o produto é definido componente a componente (i.e., multiplicação e soma de componentes correspondentes), a linearidade é garantida. Portanto, a propriedade de linearidade está satisfeita.
Passo 5
3. Positividade:
Vamos calcular
:
Para que a positividade seja satisfeita, precisamos que
para todo
, e que seja igual a zero somente quando
.
No entanto, se escolhermos, por exemplo,
, temos:
Isso mostra que existem vetores diferentes de zero para os quais
. Portanto, a propriedade de positividade não está satisfeita.
Resposta
O produto definido por
não é um produto interno em
porque não satisfaz a propriedade de positividade.
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Sejam dois vetores
e
não paralelos. Fornecer uma fórmula para calcular o área do triângulo
determinado pelos vetores dados.
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
c)
c)
Sejam r e s retas no plano Cartesiano dadas respectivamente por
(a) Prove que se
então r e s são perpendiculares.
(b) Prove que se então r e s são paralelas.
(b) Prove que se
Normalizem os vetores abaixo:
Ainda, após normalizados, esse conjunto de vetores é ortonormal? Justifique