Sejam u=(x1, x2, x3) e v=(y1, y2, y3). Identifique os casos em que temos um produto interno definido em R^3. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
d) lang<= u, vrang<==x1 y1-x2 y2+x3 y3

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . A questão é verificar se o produto definido por é um produto interno em . Para isso, precisamos lembrar quais propriedades um produto interno deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que definem um produto interno:
  1. Simetria: .
  2. Linearidade: O produto interno é linear em cada um dos seus argumentos.
  3. Positividade: e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o produto dado.

Passo 3

1. Simetria:
Vamos trocar lang<= v, u rang<= = y1 x1 - y2 x2 + y3 x3 e lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= no produto:
Comparando com , fica claro que:
Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer escalares lang<= a u + b w, v rang<= = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= e , e vetores e :
Como o produto é definido componente a componente (i.e., multiplicação e soma de componentes correspondentes), a linearidade é garantida. Portanto, a propriedade de linearidade está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade:
Vamos calcular lang<= u, u rang<= = x1^2 - x2^2 + x3^2 :
lang<= u, u rang<= = 0^2 - 2^2 + 0^2 = -4 < 0
Para que a positividade seja satisfeita, precisamos que para todo , e que seja igual a zero somente quando .
No entanto, se escolhermos, por exemplo, , temos:
Isso mostra que existem vetores diferentes de zero para os quais . Portanto, a propriedade de positividade não está satisfeita.

Resposta

O produto definido por não é um produto interno em porque não satisfaz a propriedade de positividade.

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