Sejam
e
. Mostre que
é um conjunto ortonormal quando
tem como produto interno a relação abaixo
mas não é um conjunto ortonormal em
com o produto interno usual.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores
e
. Precisamos mostrar que o conjunto
é ortonormal quando usamos um produto interno específico em
, mas que ele não é ortonormal com o produto interno usual. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser um conjunto ortonormal e como calcular produtos internos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto ortonormal. Um conjunto de vetores é ortonormal se cada vetor tem norma 1 (ou seja, é um vetor unitário) e todos os vetores são ortogonais entre si (o produto interno entre vetores diferentes é zero).
Passo 3
Vamos começar verificando a ortonormalidade de
com o produto interno dado:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Ficou claro que
é um vetor unitário.
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
:
Também vimos que
é um vetor unitário.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
e
são ortogonais, ou seja, se
:
Portanto,
e
são ortogonais.
Passo 6
Como vimos, com o produto interno fornecido,
é ortonormal porque:
- Cada vetor tem norma 1.
- Os vetores são ortogonais entre si.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
é ortonormal com o produto interno usual em
, que é:
Primeiro, calculamos a norma de
com o produto interno usual:
Como a norma de
não é 1, já podemos concluir que
não é ortonormal com o produto interno usual, sem precisar verificar a ortogonalidade.
Resposta
Portanto,
é um conjunto ortonormal no espaço
com o produto interno definido por
, mas não é ortonormal com o produto interno usual.