Sejam u=(1raiz5,-1raiz5) e v=(2raiz30, 3raiz30). Mostre que u, v é um conjunto ortonormal quando R^2 tem como produto interno a relação abaixo
lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==3 x1 x2+2 y1 y2
mas não é um conjunto ortonormal em R^2 com o produto interno usual.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores e . Precisamos mostrar que o conjunto é ortonormal quando usamos um produto interno específico em , mas que ele não é ortonormal com o produto interno usual. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser um conjunto ortonormal e como calcular produtos internos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto ortonormal. Um conjunto de vetores é ortonormal se cada vetor tem norma 1 (ou seja, é um vetor unitário) e todos os vetores são ortogonais entre si (o produto interno entre vetores diferentes é zero).

Passo 3

Vamos começar verificando a ortonormalidade de lang<= (x1, x2), (y1, y2) rang<= = 3x1y1 + 2x2y2 com o produto interno dado:
|u| = raizlang<= u, u rang<= = raiz3(1raiz5)^2 + 2(-1raiz5)^2 = raiz35 + 25 = raiz1 = 1
Primeiro, calculamos a norma de :
Ficou claro que é um vetor unitário.

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de |v| = raizlang<= v, v rang<= = raiz3(2raiz30)^2 + 2(3raiz30)^2 = raiz1230 + 1830 = raiz1 = 1 :
Também vimos que é um vetor unitário.

Passo 5

Agora, vamos verificar se lang<= u, v rang<= = 3(1raiz5)(2raiz30) + 2(-1raiz5)(3raiz30) = 6raiz150 - 6raiz150 = 0 e são ortogonais, ou seja, se :
Portanto, e são ortogonais.

Passo 6

Como vimos, com o produto interno fornecido, é ortonormal porque:
  • Cada vetor tem norma 1.
  • Os vetores são ortogonais entre si.

Passo 7

Agora, vamos verificar se lang<= (x1, x2), (y1, y2) rang<= = x1y1 + x2y2 é ortonormal com o produto interno usual em |u| = raizlang<= u, u rang<= = raiz(1raiz5)^2 + (-1raiz5)^2 = raiz15 + 15 = raiz25 neq 1 , que é:
Primeiro, calculamos a norma de com o produto interno usual:
Como a norma de não é 1, já podemos concluir que não é ortonormal com o produto interno usual, sem precisar verificar a ortogonalidade.

Resposta

Portanto, é um conjunto ortonormal no espaço com o produto interno definido por , mas não é ortonormal com o produto interno usual.

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