Sejam r e s retas no plano Cartesiano dadas respectivamente por
& y=m1 x+k1 & y=m2 x+k1
(a) Prove que se m1 cdot m2=-1 então r e s são perpendiculares.
(b) Prove que se m1=m2 então r e s são paralelas.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre retas no plano cartesiano. O enunciado nos dá duas retas, r e s, com equações na forma y = m1x + k1 e y = m2x + k1. Vamos precisar entender conceitos de inclinação das retas, perpendicularidade e paralelismo para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício: provar que se m1 cdot m2 = -1, então as retas r e s são perpendiculares.
Para isso, precisamos lembrar que a inclinação de uma reta, representada pelo coeficiente angular m, indica a inclinação da reta em relação ao eixo x. Quando o produto das inclinações de duas retas é -1, isso significa que as retas são perpendiculares (ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si).

Passo 3

Vamos calcular o produto das inclinações das duas retas:
m1 cdot m2 = -1
Isso nos diz que as inclinações são negativas uma da outra e reciprocais, o que caracteriza retas perpendiculares no plano.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): provar que se m1 = m2, então as retas r e s são paralelas.
Quando duas retas têm o mesmo coeficiente angular, ou seja, m1 = m2, elas têm a mesma inclinação. Se além disso, os termos constantes ( k1 e k2) forem diferentes, as retas nunca se encontram, o que as torna paralelas.

Resposta

(a) Se m1 cdot m2 = -1, então as retas r e s são perpendiculares.
(b) Se m1 = m2, então as retas r e s são paralelas.

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