Sejam r e s retas no plano Cartesiano dadas respectivamente por
(a) Prove que se
então r e s são perpendiculares.
(b) Prove que se
então r e s são paralelas.
(b) Prove que se
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre retas no plano cartesiano. O enunciado nos dá duas retas, r e s, com equações na forma
e
. Vamos precisar entender conceitos de inclinação das retas, perpendicularidade e paralelismo para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício: provar que se
, então as retas r e s são perpendiculares.
Para isso, precisamos lembrar que a inclinação de uma reta, representada pelo coeficiente angular
, indica a inclinação da reta em relação ao eixo x. Quando o produto das inclinações de duas retas é -1, isso significa que as retas são perpendiculares (ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si).
Passo 3
Vamos calcular o produto das inclinações das duas retas:
Isso nos diz que as inclinações são negativas uma da outra e reciprocais, o que caracteriza retas perpendiculares no plano.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): provar que se
, então as retas r e s são paralelas.
Quando duas retas têm o mesmo coeficiente angular, ou seja,
, elas têm a mesma inclinação. Se além disso, os termos constantes (
e
) forem diferentes, as retas nunca se encontram, o que as torna paralelas.
Resposta
(a) Se
, então as retas r e s são perpendiculares.
(b) Se , então as retas r e s são paralelas.
(b) Se
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
d)
d)
Sejam dois vetores
e
não paralelos. Fornecer uma fórmula para calcular o área do triângulo
determinado pelos vetores dados.
Normalizem os vetores abaixo:
Ainda, após normalizados, esse conjunto de vetores é ortonormal? Justifique
Sejam
e
. Mostre que
é um conjunto ortonormal quando
tem como produto interno a relação abaixo
mas não é um conjunto ortonormal em
com o produto interno usual.