Sejam r e s retas no plano Cartesiano dadas respectivamente por
(a) Prove que se então r e s são perpendiculares.
(b) Prove que se então r e s são paralelas.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre retas no plano cartesiano. O enunciado nos dá duas retas, r e s, com equações na forma e . Vamos precisar entender conceitos de inclinação das retas, perpendicularidade e paralelismo para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício: provar que se , então as retas r e s são perpendiculares.
Para isso, precisamos lembrar que a inclinação de uma reta, representada pelo coeficiente angular , indica a inclinação da reta em relação ao eixo x. Quando o produto das inclinações de duas retas é -1, isso significa que as retas são perpendiculares (ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si).

Passo 3

Vamos calcular o produto das inclinações das duas retas:
Isso nos diz que as inclinações são negativas uma da outra e reciprocais, o que caracteriza retas perpendiculares no plano.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): provar que se , então as retas r e s são paralelas.
Quando duas retas têm o mesmo coeficiente angular, ou seja, , elas têm a mesma inclinação. Se além disso, os termos constantes ( e ) forem diferentes, as retas nunca se encontram, o que as torna paralelas.

Resposta

(a) Se , então as retas r e s são perpendiculares.
(b) Se , então as retas r e s são paralelas.

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d)
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Ainda, após normalizados, esse conjunto de vetores é ortonormal? Justifique
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mas não é um conjunto ortonormal em com o produto interno usual.