NotasDeAulas [2024] Um balão meteorológico é liberado ao nível do mar, a uma distância R do olho de um furação, e sua altitude aumenta à medida que ele se move em direção ao olho. A altitude h que o balão atingirá no olho pode ser aproximada por
h = pi^2 g R^4 / C^2
em que g é a constante gravitacional e C é uma medida meteorológica chamada circulação da velocidade do vento. Se os erros percentuais máximos e mínimos nas mensurações de R e h são de +- 2% e +- 5 % respectivamente, estime o erro percentual máximo no cálculo de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve entender como os erros nas medidas de distância ( R) e altitude ( h) afetam o cálculo da circulação da velocidade do vento ( C). A matéria aqui é Propagação de Erros em Física, e vamos precisar usar algumas fórmulas de propagação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula que relaciona h, R e C:
Nossa missão é encontrar como os erros percentuais em R e h influenciam o erro em C.

Passo 3

Para facilitar, vamos reorganizar a equação para resolver C em função de h e R:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos pensar em como os erros se propagam nessa fórmula. Usamos a Regra da Propagação de Erros para funções de múltiplas variáveis. A fórmula geral para o erro relativo em C é:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a R:
  1. Derivada em relação a h:

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula de propagação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos inserir os erros percentuais dados:
Substituindo na equação:

Resposta

O erro percentual máximo no cálculo de C é de 6,5%.

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