Nos problemas a)-e) encontre e desenhe a serie de Fourier de
.
e)
no intervalo
.
e)
no intervalo
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede pra encontrar e desenhar a série de Fourier de uma função
definida no intervalo
. A função é dada por:
O conteúdo aqui envolve séries de Fourier, que são usadas pra representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, a gente vai precisar calcular os coeficientes da série de Fourier que melhor descrevem essa função no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função é definida no intervalo
, o período
é
(porque
). Sabendo isso, podemos considerar
.
A série de Fourier geral para uma função com período
é:
Onde:
-
é o termo constante, -
são os coeficientes dos cossenos, -
são os coeficientes dos senos.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Como a função
é definida de forma diferente em
e
, precisamos dividir a integral nesses intervalos e considerar que a função se repete a cada
unidades.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
e
. As fórmulas são:
Substituindo
:
Mais uma vez, como a função
tem diferentes expressões em
e
, precisamos calcular as integrais nesses intervalos separadamente.
Passo 5
Depois de calcular
,
e
, substituímos esses valores na série de Fourier geral para obter a expressão completa da série. Essa série representará a função
de forma periódica no intervalo
.
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é dada por:
onde os coeficientes
,
e
são calculados conforme mostrado nos passos anteriores.