Nos problemas a)-e) encontre e desenhe a serie de Fourier de f.
e) f(x) = { 1, -5 < x < 0; 1 + x, 0 <= x < 5 }
no intervalo [-15, 15].

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede pra encontrar e desenhar a série de Fourier de uma função definida no intervalo . A função é dada por:
O conteúdo aqui envolve séries de Fourier, que são usadas pra representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, a gente vai precisar calcular os coeficientes da série de Fourier que melhor descrevem essa função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função é definida no intervalo , o período é (porque ). Sabendo isso, podemos considerar .
A série de Fourier geral para uma função com período é:
Onde:
  • é o termo constante,
  • são os coeficientes dos cossenos,
  • são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Substituindo :
Como a função é definida de forma diferente em e , precisamos dividir a integral nesses intervalos e considerar que a função se repete a cada unidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes e . As fórmulas são:
Substituindo :
Mais uma vez, como a função tem diferentes expressões em e , precisamos calcular as integrais nesses intervalos separadamente.

Passo 5

Depois de calcular , e , substituímos esses valores na série de Fourier geral para obter a expressão completa da série. Essa série representará a função de forma periódica no intervalo .

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é dada por:
onde os coeficientes , e são calculados conforme mostrado nos passos anteriores.

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