Seja R a região anular entre os circulos
e
, calcule
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região anular
entre os círculos
e
. O objetivo é calcular a integral dupla
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com círculos. Vamos precisar lembrar como converter coordenadas cartesianas para polares e como calcular integrais duplas nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a região
para coordenadas polares. Em coordenadas polares, as equações dos círculos ficam mais simples:
- O círculo menor
se transforma em . - O círculo maior
se transforma em .
Além disso, em coordenadas polares, o elemento de área
é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar,
, em coordenadas polares. Sabemos que:
Então:
Portanto, a função
fica:
Passo 4
Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. A integral fica assim:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro. Vamos separar as duas partes da integral:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, a integral de
de
a
:
Sabemos que
, então:
Porque a integral de
de
a
é zero.
Passo 8
Agora, a integral de
de
a
:
Porque a integral de
de
a
é zero.
Passo 9
Somando os resultados das integrais: