Seja R a região anular entre os circulos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=5, calcule integral duplaR(x^2+y) d A S: 6 pi.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região anular entre os círculos e . O objetivo é calcular a integral dupla . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com círculos. Vamos precisar lembrar como converter coordenadas cartesianas para polares e como calcular integrais duplas nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a região para coordenadas polares. Em coordenadas polares, as equações dos círculos ficam mais simples:
  • O círculo menor se transforma em .
  • O círculo maior se transforma em .
Além disso, em coordenadas polares, o elemento de área é dado por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, x = r cos theta e y = r sin theta , em coordenadas polares. Sabemos que:
x^2 = (r cos theta)^2 = r^2 cos^2 theta
Então:
y = r sin theta
x^2 + y = r^2 cos^2 theta + r sin theta
Portanto, a função fica:

Passo 4

Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. A integral fica assim:
integral duplaR (x^2 + y) dA = integral0^2pi integral1^raiz5 (r^2 cos^2 theta + r sin theta ) r , dr , dtheta
Simplificando, temos:
= integral0^2pi integral1^raiz5 (r^3 cos^2 theta + r^2 sin theta ) dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral1^raiz5 r^3 cos^2 theta , dr = cos^2 theta [ r^44 ]1^raiz5 = cos^2 theta ( (raiz5)^44 - 14 ) = cos^2 theta cdot 6 = 6 cos^2 theta primeiro. Vamos separar as duas partes da integral:
  1. Para integral1^raiz5 r^2 sin theta , dr = sin theta [ r^33 ]1^raiz5 = sin theta ( 5raiz53 - 13 ) = sin theta cdot 5raiz5 -13 :
  1. Para :

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^2pi ( 6 cos^2 theta + 5raiz5 -13 sin theta ) dtheta
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, a integral de 6 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = 6 cdot 12 integral0^2pi (1 + cos 2theta) , dtheta = 3 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos 2theta , dtheta ] de = 3 [ 2pi + 0 ] = 6pi a :
Sabemos que , então:
Porque a integral de de a é zero.

Passo 8

Agora, a integral de 5raiz5 -13 integral0^2pi sin theta , dtheta = 5raiz5 -13 cdot 0 = 0 de a :
Porque a integral de de a é zero.

Passo 9

Somando os resultados das integrais:
6pi + 0 = 6pi

Resposta

integral duplaR (x^2 + y) dA = 6pi

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