Seja R a região anular entre os circulos
e
, calcule
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região anular
entre os círculos
e
. O objetivo é calcular a integral dupla
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com círculos. Vamos precisar lembrar como converter coordenadas cartesianas para polares e como calcular integrais duplas nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a região
para coordenadas polares. Em coordenadas polares, as equações dos círculos ficam mais simples:
- O círculo menor
se transforma em . - O círculo maior
se transforma em .
Além disso, em coordenadas polares, o elemento de área
é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar,
, em coordenadas polares. Sabemos que:
Então:
Portanto, a função
fica:
Passo 4
Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. A integral fica assim:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro. Vamos separar as duas partes da integral:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, a integral de
de
a
:
Sabemos que
, então:
Porque a integral de
de
a
é zero.
Passo 8
Agora, a integral de
de
a
:
Porque a integral de
de
a
é zero.
Passo 9
Somando os resultados das integrais:
Resposta
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NotasDeAulas [2024] Um balão meteorológico é liberado ao nível do mar, a uma distância
do olho de um furação, e sua altitude aumenta à medida que ele se move em direção ao olho. A altitude
que o balão atingirá no olho pode ser aproximada por
em que
é a constante gravitacional e
é uma medida meteorológica chamada circulação da velocidade do vento. Se os erros percentuais máximos e mínimos nas mensurações de
e
são de
e
respectivamente, estime o erro percentual máximo no cálculo de
.
Nos problemas a)-e) encontre e desenhe a serie de Fourier de
.
a)
no intervalo
a)
no intervalo
Nos problemas a)-e) encontre e desenhe a serie de Fourier de
.
e)
no intervalo .
e)
no intervalo
Considere a função
. É correto que:
é ponto crítico.