Seja R a região anular entre os circulos e , calcule .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região anular entre os círculos e . O objetivo é calcular a integral dupla . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para trabalhar com círculos. Vamos precisar lembrar como converter coordenadas cartesianas para polares e como calcular integrais duplas nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a região para coordenadas polares. Em coordenadas polares, as equações dos círculos ficam mais simples:
  • O círculo menor se transforma em .
  • O círculo maior se transforma em .
Além disso, em coordenadas polares, o elemento de área é dado por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, , em coordenadas polares. Sabemos que:
Então:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. A integral fica assim:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro. Vamos separar as duas partes da integral:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, a integral de de a :
Sabemos que , então:
Porque a integral de de a é zero.

Passo 8

Agora, a integral de de a :
Porque a integral de de a é zero.

Passo 9

Somando os resultados das integrais:

Resposta

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