Se T(1,0,2)=(1,-1,2), T(1,1,1)=(0,1,-3) e T(0,1,1)=(-2,0,1), determine T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear que leva vetores de para . Nos deram três vetores de entrada e suas respectivas imagens pela , e queremos descobrir a expressão geral de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares e como representá-las com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear A = a & b & c d & e & f g & h & i pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , ela será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Nossa meta é encontrar os valores de .

Passo 3

Sabemos que A 1 0 2 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 2 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 2 g cdot 1 + h cdot 0 + i cdot 2 = 1 -1 2 , onde a + 2c = 1 d + 2f = -1 g + 2i = 2 é um vetor em A 1 1 1 = a + b + c d + e + f g + h + i = 0 1 -3 . Vamos aplicar isso aos vetores que nos deram:
  1. a + b + c = 0 d + e + f = 1 g + h + i = -3
A 0 1 1 = 0 cdot a + 1 cdot b + 1 cdot c 0 cdot d + 1 cdot e + 1 cdot f 0 cdot g + 1 cdot h + 1 cdot i = -2 0 1
Isso nos dá:
b + c = -2 e + f = 0 h + i = 1
Isso nos dá:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
  1. (1 - 2c) + b + c = 0 1 - c + b = 0 b = c - 1
  2. (c - 1) + c = -2 2c - 1 = -2 2c = -1 c = -12 b = -12 - 1 = -32
  3. d - f + f = d = 1
  4. 1 + 2f = -1 2f = -2 f = -1 e = -f = 1
  5. g + (1 - i) + i = g + 1 = -3 g = -4
  6. -4 + 2i = 2 2i = 6 i = 3 h = 1 - 3 = -2
Vamos resolver passo a passo:
a) Da equação 7: . Da equação 1: .
b) Substituindo na equação 4:
c) Sabemos que , então substituindo :
d) Então, .
e) Da equação 8: , então .
f) Da equação 2: .
g) Da equação 5: , substituindo :
Então, .
h) Substituindo na equação 2:
i) Da equação 9: .
j) Da equação 3: .
k) Da equação 6: .
Vamos resolver para e :
  • Da equação 9: .
  • Substituindo na equação 6:
  • Substituindo na equação 3:

Resposta

Portanto, a transformação T(x, y, z) = 2 & -32 & -12 1 & 1 & -1 -4 & -2 & 3 x y z é dada por:
T(x, y, z) = (2x - 32y - 12z,;; x + y - z,;; -4x - 2y + 3z)
Ou seja,

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