Uma partícula de massa
é colocada sobre uma mesa sem atrito e presa a um fio que passa por um orifício no centro da mesa. Na outra extremidade do fio encontra-se um corpo de massa
. A partícula gira em torno do orifício e não é centrifugada, porque o peso (mg) fornece a força centrípeta necessária para mantê-la em movimento circular uniforme. Para um dado valor de
, a partícula
gira com velocidade
e o raio da trajetória é
.
a) Qual é a relação entre
e
para que a partícula gire com velocidade
?
b) Qual é o trabalho necessário para encurtar o raio da trajetória de
para
?
a) Qual é a relação entre
b) Qual é o trabalho necessário para encurtar o raio da trajetória de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma partícula de massa
que está sobre uma mesa sem atrito, presa a um fio que passa por um orifício no centro da mesa. Na outra extremidade desse fio, tem um corpo de massa
pendurado. A partícula
está girando em círculos com velocidade
e raio
. Nosso objetivo é responder duas perguntas:
a) Descobrir a relação entre as massas
e
que permite que a partícula gire com a velocidade
.
b) Calcular o trabalho necessário para reduzir o raio da trajetória de
para
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta, segunda lei de Newton para movimentos circulares e energia para calcular o trabalho.
Passo 2
Começando com a parte (a). Queremos encontrar a relação entre
e
que permite que a partícula gire com velocidade
e raio
.
Passo 3
Para uma partícula em movimento circular uniforme, a força centrípeta necessária para mantê-la nessa trajetória é dada por:
Essa força centrípeta é fornecida pela tensão no fio, que, nesse caso, é equilibrada pelo peso do corpo pendurado, ou seja:
Aqui,
é a aceleração da gravidade. Como a tensão no fio é o que fornece a força centrípeta, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar uma das massas para encontrar a relação entre
e
. Vamos isolar
:
Portanto, a relação entre
e
é:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos calcular o trabalho necessário para reduzir o raio da trajetória de
para
.
Passo 6
O trabalho realizado para mudar o raio implica em alterar a energia do sistema. Vamos considerar que a velocidade da partícula muda devido à mudança no raio. Porém, se a velocidade
se mantém constante, o ritmo de trabalho muda. Mas normalmente, ao encurtar o raio, a velocidade aumenta devido à conservação do momento angular.
Entretanto, para simplificar, vamos assumir que a velocidade muda de forma que a energia necessária seja apenas para mudar o raio, mantendo a velocidade constante. Isso implica que precisamos calcular a variação na energia potencial ou na força aplicada para encurtar o fio.
Passo 7
A força necessária para puxar a partícula para dentro é igual à tensão no fio, que como vimos antes é
. O trabalho
é dado por:
Onde
é a variação do raio. Aqui,
.
Passo 8
Substituindo os valores:
Usando a relação que encontramos na parte (a):
Substituindo
na expressão do trabalho:
Resposta
a) A relação entre
e
para que a partícula gire com velocidade
é:
b) O trabalho necessário para encurtar o raio da trajetória de
para
é: