Uma partícula de massa M é colocada sobre uma mesa sem atrito e presa a um fio que passa por um orifício no centro da mesa. Na outra extremidade do fio encontra-se um corpo de massa m. A partícula gira em torno do orifício e não é centrifugada, porque o peso (mg) fornece a força centrípeta necessária para mantê-la em movimento circular uniforme. Para um dado valor de m, a partícula M gira com velocidade v0 e o raio da trajetória é r0.
a) Qual é a relação entre m e M para que a partícula gire com velocidade v0 ?
b) Qual é o trabalho necessário para encurtar o raio da trajetória de ro para ro / 2 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma partícula de massa que está sobre uma mesa sem atrito, presa a um fio que passa por um orifício no centro da mesa. Na outra extremidade desse fio, tem um corpo de massa pendurado. A partícula está girando em círculos com velocidade e raio . Nosso objetivo é responder duas perguntas:
a) Descobrir a relação entre as massas e que permite que a partícula gire com a velocidade .
b) Calcular o trabalho necessário para reduzir o raio da trajetória de para .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta, segunda lei de Newton para movimentos circulares e energia para calcular o trabalho.

Passo 2

Começando com a parte (a). Queremos encontrar a relação entre e que permite que a partícula gire com velocidade e raio .

Passo 3

Para uma partícula em movimento circular uniforme, a força centrípeta necessária para mantê-la nessa trajetória é dada por:
Fc = M v0^2r0
Essa força centrípeta é fornecida pela tensão no fio, que, nesse caso, é equilibrada pelo peso do corpo pendurado, ou seja:
T = m g
Aqui, Fc = T Rightarrow M v0^2r0 = m g é a aceleração da gravidade. Como a tensão no fio é o que fornece a força centrípeta, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar uma das massas para encontrar a relação entre m = M v0^2r0 g e m = M v0^2r0 g . Vamos isolar :
Portanto, a relação entre e é:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos calcular o trabalho necessário para reduzir o raio da trajetória de para .

Passo 6

O trabalho realizado para mudar o raio implica em alterar a energia do sistema. Vamos considerar que a velocidade da partícula muda devido à mudança no raio. Porém, se a velocidade se mantém constante, o ritmo de trabalho muda. Mas normalmente, ao encurtar o raio, a velocidade aumenta devido à conservação do momento angular.
Entretanto, para simplificar, vamos assumir que a velocidade muda de forma que a energia necessária seja apenas para mudar o raio, mantendo a velocidade constante. Isso implica que precisamos calcular a variação na energia potencial ou na força aplicada para encurtar o fio.

Passo 7

A força necessária para puxar a partícula para dentro é igual à tensão no fio, que como vimos antes é W = F cdot De. O trabalho é dado por:
Onde é a variação do raio. Aqui, .

Passo 8

Substituindo os valores:
W = m g cdot r02
Usando a relação que encontramos na parte (a):
m = M v0^2r0 g
Substituindo W = ( M v0^2r0 g ) g cdot r02 = M v0^22 na expressão do trabalho:

Resposta

a) A relação entre m = M v0^2r0 g e W = M v0^22 para que a partícula gire com velocidade é:
b) O trabalho necessário para encurtar o raio da trajetória de para é:

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