O nuclídeo radioativo P^32 tem uma meia-vida de 14,3 dias. A decomposição desse nuclídeo apresenta cinética de 1^a ordem. Quanto tempo um resíduo contendo 10 mg / L de P^32 tem que ser estocado com vista a reduzir a concentração a 0,3 mg / L ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a decomposição de um nuclídeo radioativo chamado P^32, que tem uma meia-vida de 14,3 dias. A cinética dessa decomposição é de primeira ordem. Precisamos descobrir quanto tempo leva para reduzir a concentração de P^32 de 10 , mg/L para 0,3 , mg/L. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de cinética de primeira ordem e o conceito de meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a meia-vida. A meia-vida ( t1/2) é o tempo necessário para a metade da quantidade de uma substância radioativa se decompor. Para cinética de primeira ordem, a relação entre a meia-vida e a constante de decaimento ( k) é dada pela fórmula:
t1/2 = ln 2k
Aqui, ln 2 é o logaritmo natural de 2, aproximadamente igual a 0,693.

Passo 3

Vamos calcular a constante de decaimento ( k) usando a meia-vida fornecida:
k = ln 2t1/2 = 0,69314,3 , dias approx 0,0483 , dias^-1

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da cinética de primeira ordem para encontrar o tempo necessário para reduzir a concentração de P^32:
C(t) = C0 , e^-kt
Onde:
  • C(t) é a concentração final ( 0,3 , mg/L),
  • C0 é a concentração inicial ( 10 , mg/L),
  • k é a constante de decaimento ( 0,0483 , dias^-1),
  • t é o tempo que queremos encontrar.
Rearranjando a fórmula para resolver para t:
t = -ln(C(t)C0)k

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
t = -ln(0,310)0,0483
Calculando o logaritmo:
ln(0,310) = ln(0,03) approx -3,5066
Então:
t = -(-3,5066)0,0483 approx 3,50660,0483 approx 72,5 , dias

Resposta

O resíduo contendo 10 , mg/L de P^32 precisa ser estocado por aproximadamente 72,5 dias para reduzir a concentração a 0,3 , mg/L.

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