Qual é o número mínimo de iterações para encontrar o resultado do item (b) com a precisão
, se adotarmos o Método da Bisseç̧ão, partindo do intervalo inicial
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede! Queremos descobrir quantas vezes precisamos aplicar o Método da Bisseção para encontrar uma raiz com uma precisão de
, começando com o intervalo inicial
. Para isso, vamos precisar entender como o Método da Bisseção funciona e qual fórmula usar para calcular o número mínimo de iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre o Método da Bisseção. Esse método é usado para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo em duas partes e selecionando a subparte onde a função muda de sinal (o que indica a presença de uma raiz). A cada iteração, reduzimos o tamanho do intervalo pela metade, aumentando a precisão da nossa aproximação da raiz.
Para saber quantas iterações são necessárias para atingir uma precisão específica, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o número mínimo de iterações necessárias. -
e são os limites do intervalo inicial. -
é a precisão desejada. -
representa o logaritmo na base 10.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula com os valores fornecidos na questão:
- Intervalo inicial:
, então . - Precisão desejada:
.
Substituindo na fórmula:
Calculando o numerador:
Agora, dividimos pelo logaritmo de 2:
Passo 4
Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos 28,18 para o próximo número inteiro, que é 29. Portanto, precisamos de pelo menos 29 iterações para alcançar a precisão desejada de
usando o Método da Bisseção no intervalo inicial
.
Resposta
O número mínimo de iterações necessárias é 29.
Exercícios relacionados
Existe algum método numérico que seja capaz de obter uma solução aproximada da equação
? Justifique sua resposta.
Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de
do valor de
que produz o ponto no gráfico de
que está mais próximo ao ponto
. Em seguida, repita a resolução do problema usando o Método da Secante. (Dica: minimize a função
, em que
representa a distância do ponto
ao ponto
.
Tome
e faça 3 iterações do Método de Newton. Analise a aproximação obtida, considerando o ponto inicial utilizado.
Mostre que esta função possui pelo menos um zero no intervalo
.