Qual é o número mínimo de iterações para encontrar o resultado do item (b) com a precisão varepsilon=10^-8, se adotarmos o Método da Bisseç̧ão, partindo do intervalo inicial [0,3] ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede! Queremos descobrir quantas vezes precisamos aplicar o Método da Bisseção para encontrar uma raiz com uma precisão de varepsilon = 10^-8, começando com o intervalo inicial [0, 3]. Para isso, vamos precisar entender como o Método da Bisseção funciona e qual fórmula usar para calcular o número mínimo de iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o Método da Bisseção. Esse método é usado para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo em duas partes e selecionando a subparte onde a função muda de sinal (o que indica a presença de uma raiz). A cada iteração, reduzimos o tamanho do intervalo pela metade, aumentando a precisão da nossa aproximação da raiz.
Para saber quantas iterações são necessárias para atingir uma precisão específica, usamos a seguinte fórmula:
n >= log(b - avarepsilon)log(2)
Onde:
  • n é o número mínimo de iterações necessárias.
  • a e b são os limites do intervalo inicial.
  • varepsilon é a precisão desejada.
  • log representa o logaritmo na base 10.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores fornecidos na questão:
  • Intervalo inicial: [a, b] = [0, 3], então b - a = 3 - 0 = 3.
  • Precisão desejada: varepsilon = 10^-8.
Substituindo na fórmula:
n >= log(310^-8)log(2) = log(3 times 10^8)log(2)
Calculando o numerador:
log(3 times 10^8) = log(3) + log(10^8) = 0,4771 + 8 = 8,4771
Agora, dividimos pelo logaritmo de 2:
n >= 8,47710,3010 approx 28,18

Passo 4

Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos 28,18 para o próximo número inteiro, que é 29. Portanto, precisamos de pelo menos 29 iterações para alcançar a precisão desejada de varepsilon = 10^-8 usando o Método da Bisseção no intervalo inicial [0, 3].

Resposta

O número mínimo de iterações necessárias é 29.

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