Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de 10^-4 do valor de x que produz o ponto no gráfico de y=x^2 que está mais próximo ao ponto (1,0). Em seguida, repita a resolução do problema usando o Método da Secante. (Dica: minimize a função [D(x)]^2, em que D(x) representa a distância do ponto (x, x^2) ao ponto (1,0)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor de que faz com que o ponto no gráfico de seja o mais próximo possível do ponto . Para isso, vamos usar dois métodos numéricos: o Método de Newton e o Método da Secante. Esses métodos ajudam a encontrar raízes de equações de forma aproximada, especialmente quando resolver a equação exatamente é complicado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar a distância entre dois pontos no plano. A distância D(x) = raiz(x - 1)^2 + (x^2 - 0)^2 entre [D(x)]^2 = (x - 1)^2 + x^4 e é dada pela fórmula:
Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar , que é a distância ao quadrado:

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto mais próximo, precisamos encontrar o valor de f(x) = x^4 + (x - 1)^2 que minimiza f'(x) = 4x^3 + 2(x - 1) . Isso significa que precisamos achar onde a derivada dessa função é igual a zero.
Vamos calcular a derivada de 4x^3 + 2x - 2 = 0 :
Derivando em relação a :
Queremos encontrar tal que :

Passo 4

Vamos aplicar o Método de Newton para resolver a equação xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . O Método de Newton usa a fórmula:
Já temos e sua derivada .
Vamos precisar de um palpite inicial. Vamos tentar .

Passo 5

Vamos iterar o Método de Newton até alcançarmos a precisão de f(0.5) = 4(0.5)^3 + 2(0.5) - 2 = 4(0.125) + 1 - 2 = 0.5 + 1 - 2 = -0.5 .
Iteração 1:
f'(0.5) = 12(0.5)^2 + 2 = 12(0.25) + 2 = 3 + 2 = 5
x1 = 0.5 - -0.55 = 0.5 + 0.1 = 0.6
f(0.6) = 4(0.6)^3 + 2(0.6) - 2 = 4(0.216) + 1.2 - 2 = 0.864 + 1.2 - 2 = 0.064
Iteração 2:
f'(0.6) = 12(0.6)^2 + 2 = 12(0.36) + 2 = 4.32 + 2 = 6.32
x2 = 0.6 - 0.0646.32 approx 0.6 - 0.0101266 approx 0.5898734
f(0.5898734) approx 4(0.5898734)^3 + 2(0.5898734) - 2 approx 4(0.205) + 1.1797 - 2 approx 0.82 + 1.1797 - 2 approx 0
Iteração 3:
A diferença entre e é menor que , então paramos aqui.

Resposta

Aproximadamente, o valor de que faz o ponto no gráfico de ser o mais próximo de é usando o Método de Newton.

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