Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de
do valor de
que produz o ponto no gráfico de
que está mais próximo ao ponto
. Em seguida, repita a resolução do problema usando o Método da Secante. (Dica: minimize a função
, em que
representa a distância do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor de
que faz com que o ponto no gráfico de
seja o mais próximo possível do ponto
. Para isso, vamos usar dois métodos numéricos: o Método de Newton e o Método da Secante. Esses métodos ajudam a encontrar raízes de equações de forma aproximada, especialmente quando resolver a equação exatamente é complicado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar a distância entre dois pontos no plano. A distância
entre
e
é dada pela fórmula:
Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar
, que é a distância ao quadrado:
Passo 3
Agora, para encontrar o ponto mais próximo, precisamos encontrar o valor de
que minimiza
. Isso significa que precisamos achar onde a derivada dessa função é igual a zero.
Vamos calcular a derivada de
:
Derivando
em relação a
:
Queremos encontrar
tal que
:
Passo 4
Vamos aplicar o Método de Newton para resolver a equação
. O Método de Newton usa a fórmula:
Já temos
e sua derivada
.
Vamos precisar de um palpite inicial. Vamos tentar
.
Passo 5
Vamos iterar o Método de Newton até alcançarmos a precisão de
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
A diferença entre
e
é menor que
, então paramos aqui.
Resposta
Aproximadamente, o valor de
que faz o ponto no gráfico de
ser o mais próximo de
é
usando o Método de Newton.