Mostre que esta função possui pelo menos um zero no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa função tem pelo menos um zero no intervalo
. Isso envolve o Teorema de Bolzano, que faz parte do estudo de funções contínuas. Vamos precisar verificar se a função é contínua nesse intervalo e se os valores nos extremos do intervalo têm sinais opostos.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função é contínua no intervalo
. Funções contínuas são aquelas que não têm “quebras” ou “saltos” em seu gráfico. Então, se a função é trigonométrica, polinomial ou qualquer outra que seja conhecida por ser contínua, estamos de boa!
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função nos extremos do intervalo. Ou seja, vamos calcular
e
. Precisamos verificar se esses valores têm sinais opostos. Por exemplo, se
e
, ou vice-versa.
Passo 4
Com a função sendo contínua no intervalo e os valores nos extremos tendo sinais opostos, podemos aplicar o Teorema de Bolzano. Esse teorema diz que se uma função contínua em um intervalo
tem valores
e
com sinais opostos, então existe pelo menos um número
em
tal que
.
Resposta
Portanto, pela aplicação do Teorema de Bolzano, a função possui pelo menos um zero no intervalo
.
Exercícios relacionados
Tome
e faça 3 iterações do Método de Newton. Analise a aproximação obtida, considerando o ponto inicial utilizado.
Qual é o número mínimo de iterações para encontrar o resultado do item (b) com a precisão
, se adotarmos o Método da Bisseç̧ão, partindo do intervalo inicial
?
Utilize o Método de Newton para encontrar uma solução aproximada da equação
e tomando três pontos iniciais diferentes:
e
.
Encontre a solução aproximada da equação
no intervalo
utilizando o Método da Bissecção,
.