Mostre que esta função possui pelo menos um zero no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa função tem pelo menos um zero no intervalo . Isso envolve o Teorema de Bolzano, que faz parte do estudo de funções contínuas. Vamos precisar verificar se a função é contínua nesse intervalo e se os valores nos extremos do intervalo têm sinais opostos.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função é contínua no intervalo . Funções contínuas são aquelas que não têm “quebras” ou “saltos” em seu gráfico. Então, se a função é trigonométrica, polinomial ou qualquer outra que seja conhecida por ser contínua, estamos de boa!

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nos extremos do intervalo. Ou seja, vamos calcular e . Precisamos verificar se esses valores têm sinais opostos. Por exemplo, se e , ou vice-versa.

Passo 4

Com a função sendo contínua no intervalo e os valores nos extremos tendo sinais opostos, podemos aplicar o Teorema de Bolzano. Esse teorema diz que se uma função contínua em um intervalo tem valores e com sinais opostos, então existe pelo menos um número em tal que .

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teorema de Bolzano, a função possui pelo menos um zero no intervalo .

Exercícios relacionados

Tome e faça 3 iterações do Método de Newton. Analise a aproximação obtida, considerando o ponto inicial utilizado.
Qual é o número mínimo de iterações para encontrar o resultado do item (b) com a precisão , se adotarmos o Método da Bisseç̧ão, partindo do intervalo inicial ?
Utilize o Método de Newton para encontrar uma solução aproximada da equação e tomando três pontos iniciais diferentes: e .
Encontre a solução aproximada da equação no intervalo utilizando o Método da Bissecção, .