Mostre que esta função possui pelo menos um zero no intervalo [-pi / 2, pi / 2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que uma certa função tem pelo menos um zero no intervalo [-pi2, pi2]. Isso envolve o Teorema de Bolzano, que faz parte do estudo de funções contínuas. Vamos precisar verificar se a função é contínua nesse intervalo e se os valores nos extremos do intervalo têm sinais opostos.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função é contínua no intervalo [-pi2, pi2]. Funções contínuas são aquelas que não têm “quebras” ou “saltos” em seu gráfico. Então, se a função é trigonométrica, polinomial ou qualquer outra que seja conhecida por ser contínua, estamos de boa!

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nos extremos do intervalo. Ou seja, vamos calcular f(-pi2) e f(pi2). Precisamos verificar se esses valores têm sinais opostos. Por exemplo, se f(-pi2) < 0 e f(pi2) > 0, ou vice-versa.

Passo 4

Com a função sendo contínua no intervalo e os valores nos extremos tendo sinais opostos, podemos aplicar o Teorema de Bolzano. Esse teorema diz que se uma função contínua em um intervalo [a, b] tem valores f(a) e f(b) com sinais opostos, então existe pelo menos um número c em (a, b) tal que f(c) = 0.

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teorema de Bolzano, a função possui pelo menos um zero no intervalo [-pi2, pi2].

Exercícios relacionados