Em quais números a seguinte função é derivável? Dê uma fórmula para e esboce os gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em quais números a função é derivável. A função é definida em três partes diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é verificar onde essa função tem derivada, ou seja, onde ela é suave e não tem “quebras”. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas e verificar a continuidade e a suavidade nos pontos onde a função muda de fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função :
Vamos ver a derivada em cada intervalo:
  1. Para :
    A função é . A derivada de em relação a é simplesmente .
  2. Para :
    A função é . Derivando termo a termo, temos .
  3. Para :
    A função é . A derivada de em relação a é .
Então, já temos uma ideia de como a derivada se comporta em cada intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é derivável exatamente nos pontos onde a definição muda, ou seja, em e . Para isso, vamos verificar se a derivada tem o mesmo valor quando nos aproximamos desse ponto pela esquerda e pela direita.
Em :
  • Derivada pela esquerda ( ): .
  • Derivada pela direita ( ): .
Como as duas derivadas são iguais, a função é derivável em .
Em :
  • Derivada pela esquerda ( ): .
  • Derivada pela direita ( ): .
Aqui, as derivadas não são iguais ( ), então a função não é derivável em .

Passo 4

Agora, juntando tudo isso, podemos escrever a derivada da função da seguinte forma:
Note que em , a derivada existe e é igual a 2, mas em a derivada não existe.

Resposta

A função é derivável para todos os números reais, exceto em . A derivada de é dada por:

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