Resolva os sistemas lineares a três variáveis, identificando-os como SPD, SPI ou SI.
cx+y+z=0 2 x-2 y+z=-3 3 x+y-2 z=21

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três variáveis: , e . A matéria que a gente vai usar aqui é de Sistemas Lineares, especificamente resolvendo sistemas com três incógnitas. Para isso, vamos precisar usar métodos como substituição, eliminação ou regra de Cramer. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma clara:
x + y + z = 0 (1) 2x - 2y + z = -3 (2) 3x + y - 2z = 21 (3)
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações para facilitar. Vamos isolar o z = -x - y (4) na equação (1):
Agora, substituímos essa expressão de nas equações (2) e (3) para reduzir o sistema para duas equações com duas incógnitas.

Passo 4

Substituindo 2x - 2y + (-x - y) = -3 na equação (2):
2x - 2y - x - y = -3 x - 3y = -3 (5)
Simplificando:
3x + y - 2(-x - y) = 21
Agora, substituímos 3x + y + 2x + 2y = 21 5x + 3y = 21 (6) na equação (3):
Simplificando:

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas variáveis:
x - 3y = -3 (5) 5x + 3y = 21 (6)
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar o (x - 3y) + (5x + 3y) = -3 + 21 6x = 18 x = 3 :

Passo 6

Com 3 - 3y = -3 -3y = -6 y = 2 , vamos substituir na equação (5) para encontrar o :

Passo 7

Agora que temos z = -3 - 2 z = -5 e , vamos usar a equação (4) para encontrar o :

Resposta

A solução do sistema é , e . Além disso, o sistema é classificado como SPD (Sistema Possível e Determinado), já que possui uma única solução.

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