Um nutricionista prepara uma dieta a partir de três alimentos. Sabe-se que o alimento I produz uma unidade de vitamina A, duas unidades de vitamina B e três unidades de vitamina C. O alimento II produz uma unidade de vitamina A, uma unidade de vitamina B e duas unidades de vitamina C. Já o alimento III produz duas unidades de vitamina A, nenhuma de vitamina B e duas unidades de Vitamina C. Esse nutricionista sabe também que a dieta que está preparando deve conter dezesseis unidades de vitamina A, doze unidades de vitamina B e vinte e oito unidades de Vitamina C. Qual a proporção de cada alimento na dieta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um nutricionista que quer montar uma dieta usando três alimentos diferentes. Cada alimento contribui com certas quantidades de vitaminas A, B e C. A meta é que a dieta final tenha 16 unidades de vitamina A, 12 de vitamina B e 28 de vitamina C. Para resolver isso, vamos usar matemática, especificamente um sistema de equações lineares, para descobrir quanto de cada alimento ele deve usar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir quantas unidades de cada alimento serão usadas na dieta. Vamos chamar:
  • $ x $ = quantidade do alimento I
  • $ y $ = quantidade do alimento II
  • $ z $ = quantidade do alimento III

Passo 3

Agora, vamos traduzir as informações de vitaminas para equações. Cada alimento contribui com certas vitaminas:
  • Alimento I: 1A, 2B, 3C
  • Alimento II: 1A, 1B, 2C
  • Alimento III: 2A, 0B, 2C
Então, se multiplicarmos a quantidade de cada alimento pelas vitaminas que ele oferece, podemos montar as equações:
  1. Vitamina A: $ 1x + 1y + 2z = 16 $
  2. Vitamina B: $ 2x + 1y + 0z = 12 $
  3. Vitamina C: $ 3x + 2y + 2z = 28 $

Passo 4

Vamos simplificar e resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda equação, pois ela não tem o termo $ z $:
z
Podemos isolar $ y $:
2x + y = 12

Passo 5

Agora, substituímos $ y $ na primeira e terceira equações:
  1. $ x + (12 - 2x) + 2z = 16 $
  2. $ 3x + 2(12 - 2x) + 2z = 28 $
Simplificando:
  1. $ x + 12 - 2x + 2z = 16 $ → $ -x + 2z = 4 $ → $ x = 2z - 4 $
  2. $ 3x + 24 - 4x + 2z = 28 $ → $ -x + 2z = 4 $

Passo 6

Observamos que as duas equações resultaram na mesma expressão:
-x + 2z = 4
Então, sabemos que $ x = 2z - 4 $. Agora, podemos substituir $ x $ e $ y $ em termos de $ z $ para encontrar o valor de $ z $.

Passo 7

Vamos usar a primeira equação simplificada:
x = 2z - 4
E a expressão para $ y $:
y
Substituindo $ x $:
y = 12 - 2x

Passo 8

Agora, usamos a equação da vitamina C para encontrar $ z $:
z
Substituímos $ x $ e $ y $:
3x + 2y + 2z = 28
Expandindo:
x
Simplificando:
y
Isso significa que qualquer valor de $ z $ que satisfaça as equações anteriores é válido. Porém, para uma dieta real, precisamos de valores positivos para $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 9

Vamos escolher $ z = 4 $ (um número que faz sentido no contexto):
  • $ x = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4 $
  • $ y = 20 - 4(4) = 20 - 16 = 4 $

Passo 10

Verificamos se esses valores atendem a todas as equações:
  1. Vitamina A: $ 4 + 4 + 2(4) = 4 + 4 + 8 = 16 $ ✔️
  2. Vitamina B: $ 2(4) + 4 + 0 = 8 + 4 = 12 $ ✔️
  3. Vitamina C: $ 3(4) + 2(4) + 2(4) = 12 + 8 + 8 = 28 $ ✔️

Resposta

A proporção na dieta deve ser 4 unidades do alimento I, 4 unidades do alimento II e 4 unidades do alimento III.

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