Um nutricionista prepara uma dieta a partir de três alimentos. Sabe-se que o alimento I produz uma unidade de vitamina A, duas unidades de vitamina B e três unidades de vitamina C. O alimento II produz uma unidade de vitamina A, uma unidade de vitamina B e duas unidades de vitamina C. Já o alimento III produz duas unidades de vitamina A, nenhuma de vitamina B e duas unidades de Vitamina C. Esse nutricionista sabe também que a dieta que está preparando deve conter dezesseis unidades de vitamina A, doze unidades de vitamina B e vinte e oito unidades de Vitamina C. Qual a proporção de cada alimento na dieta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um nutricionista que quer montar uma dieta usando três alimentos diferentes. Cada alimento contribui com certas quantidades de vitaminas A, B e C. A meta é que a dieta final tenha 16 unidades de vitamina A, 12 de vitamina B e 28 de vitamina C. Para resolver isso, vamos usar matemática, especificamente um sistema de equações lineares, para descobrir quanto de cada alimento ele deve usar.
Passo 2
Primeiro, vamos definir quantas unidades de cada alimento serão usadas na dieta. Vamos chamar:
- $ x $ = quantidade do alimento I
- $ y $ = quantidade do alimento II
- $ z $ = quantidade do alimento III
Passo 3
Agora, vamos traduzir as informações de vitaminas para equações. Cada alimento contribui com certas vitaminas:
- Alimento I: 1A, 2B, 3C
- Alimento II: 1A, 1B, 2C
- Alimento III: 2A, 0B, 2C
Então, se multiplicarmos a quantidade de cada alimento pelas vitaminas que ele oferece, podemos montar as equações:
- Vitamina A: $ 1x + 1y + 2z = 16 $
- Vitamina B: $ 2x + 1y + 0z = 12 $
- Vitamina C: $ 3x + 2y + 2z = 28 $
Passo 4
Vamos simplificar e resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda equação, pois ela não tem o termo $ z $:
Podemos isolar $ y $:
Passo 5
Agora, substituímos $ y $ na primeira e terceira equações:
- $ x + (12 - 2x) + 2z = 16 $
- $ 3x + 2(12 - 2x) + 2z = 28 $
Simplificando:
- $ x + 12 - 2x + 2z = 16 $ → $ -x + 2z = 4 $ → $ x = 2z - 4 $
- $ 3x + 24 - 4x + 2z = 28 $ → $ -x + 2z = 4 $
Passo 6
Observamos que as duas equações resultaram na mesma expressão:
Então, sabemos que $ x = 2z - 4 $. Agora, podemos substituir $ x $ e $ y $ em termos de $ z $ para encontrar o valor de $ z $.
Passo 7
Vamos usar a primeira equação simplificada:
E a expressão para $ y $:
Substituindo $ x $:
Passo 8
Agora, usamos a equação da vitamina C para encontrar $ z $:
Substituímos $ x $ e $ y $:
Expandindo:
Simplificando:
Isso significa que qualquer valor de $ z $ que satisfaça as equações anteriores é válido. Porém, para uma dieta real, precisamos de valores positivos para $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 9
Vamos escolher $ z = 4 $ (um número que faz sentido no contexto):
- $ x = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4 $
- $ y = 20 - 4(4) = 20 - 16 = 4 $
Passo 10
Verificamos se esses valores atendem a todas as equações:
- Vitamina A: $ 4 + 4 + 2(4) = 4 + 4 + 8 = 16 $ ✔️
- Vitamina B: $ 2(4) + 4 + 0 = 8 + 4 = 12 $ ✔️
- Vitamina C: $ 3(4) + 2(4) + 2(4) = 12 + 8 + 8 = 28 $ ✔️
Resposta
A proporção na dieta deve ser 4 unidades do alimento I, 4 unidades do alimento II e 4 unidades do alimento III.