о) integral 3 x-2raiz4 x^2-4 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais que têm uma expressão linear no numerador e uma raiz quadrada de uma expressão quadrática no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer substituições e completar o quadrado na expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador: . Para simplificar essa expressão, vamos completar o quadrado. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão quadrática de uma forma que facilita a integração.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para 4x^2 - 4x + 5 = 4(x^2 - x) + 5 :
x^2 - x = (x - 12)^2 - 14
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
4((x - 12)^2 - 14) + 5 = 4(x - 12)^2 - 1 + 5 = 4(x - 12)^2 + 4
Substituindo de volta:
raiz4x^2 - 4x + 5 = raiz4(x - 12)^2 + 4 = 2raiz(x - 12)^2 + 1
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x - 12
Então, integral 3x - 2raiz4x^2 - 4x + 5 , dx = integral 3(u + 12) - 22raizu^2 + 1 , du . Substituindo na integral:
3u + 32 - 2 = 3u - 12
Simplificando o numerador:
12 integral 3u - 12raizu^2 + 1 , du = 32 integral uraizu^2 + 1 , du - 14 integral 1raizu^2 + 1 , du
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral uraizu^2 + 1 , du
Aqui, podemos usar uma substituição direta. Se integral uraizu^2 + 1 , du = 12 integral 1raizv , dv = 12 cdot 2raizv + C = raizu^2 + 1 + C , então integral 1raizu^2 + 1 , du = sinh^-1(u) + C = ln(u + raizu^2 + 1) + C , logo, . Portanto:
Segunda integral:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na nossa expressão original:
32 raizu^2 + 1 - 14 ln(u + raizu^2 + 1) + C
Lembrando que 32 raiz(x - 12)^2 + 1 - 14 ln(x - 12 + raiz(x - 12)^2 + 1) + C , temos:

Resposta

integral 3x - 2raiz4x^2 - 4x + 5 , dx = 32 raiz(x - 12)^2 + 1 - 14 ln(x - 12 + raiz(x - 12)^2 + 1) + C

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções abaixo. Observe que os gráficos de funções do tipo y = a x^2 + b x passam pela origem.
y = x(x + 4)
Verifique a paridade das seguintes funções:
f(x) = cos(3 x)
Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
d f(t)/dt = 4/(3-t)
Seja f(x)= 3-x, & se x<2 x2+1, & se x>2
(d) Existe lim x 4 f(x) ? Justifique sua resposta.