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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais que têm uma expressão linear no numerador e uma raiz quadrada de uma expressão quadrática no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer substituições e completar o quadrado na expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador:
. Para simplificar essa expressão, vamos completar o quadrado. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão quadrática de uma forma que facilita a integração.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo de volta:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então,
. Substituindo na integral:
Simplificando o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Aqui, podemos usar uma substituição direta. Se
, então
, logo,
. Portanto:
Segunda integral:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na nossa expressão original:
Lembrando que
, temos: