O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito
de ordem
é isomorfo a um subgrupo de
.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para concluir o Teorema de Cayley, que diz que todo grupo finito
de ordem
é isomorfo a um subgrupo de
, o grupo das permutações de
elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos, isomorfismos e grupos de permutações. Vamos montar cada parte passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um grupo é um conjunto com uma operação que combina quaisquer dois elementos para formar um terceiro, satisfazendo quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. No nosso caso,
é um grupo com
elementos.
Passo 3
Agora, queremos relacionar
com
, que é o grupo de todas as permutaçãos de
elementos. Cada permutação é simplesmente uma rearranjo dos elementos.
tem
elementos, mas nosso objetivo é mostrar que
se encaixa dentro dele como um subgrupo.
Passo 4
Para isso, vamos usar a ação de grupo. Imagine que
age sobre si mesmo pela operação de multiplicação à esquerda. Ou seja, para cada elemento
em
, definimos uma permutação
onde
para todo
em
.
Passo 5
Essa ação gera uma função de
em
. Precisamos mostrar que essa função é um isomorfismo, ou seja, uma bijeção que preserva a estrutura do grupo. Primeiro, notamos que cada
é injetora porque se
, então
, o que implica
. Como
é finito, a injetividade garante também a sobrejetividade.
Passo 6
Além disso, essa função preserva a operação do grupo, pois
. Isso mostra que a estrutura do grupo é mantida na correspondência.
Passo 7
Portanto, a função que mapeia cada
em
para a permutação
em
é um isomorfismo de grupos. Isso significa que
é estruturalmente igual a um subgrupo de
.
Resposta
Concluímos que todo grupo finito
de ordem
é isomorfo a um subgrupo de
, provando assim o Teorema de Cayley.
Exercícios relacionados
Seja
um grupo e
tal que
, onde
é o mínimo com tal propriedade. Prove que se
e
então
divide
.
Seja
um grupo, para todo
fixado, mostre que a aplicação
definida por
é um homomorfismo.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por
b)
Seja
onde
é dada como na questão anterior. Mostre que
munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.