O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem é isomorfo a um subgrupo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para concluir o Teorema de Cayley, que diz que todo grupo finito de ordem é isomorfo a um subgrupo de , o grupo das permutações de elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos, isomorfismos e grupos de permutações. Vamos montar cada parte passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um grupo é um conjunto com uma operação que combina quaisquer dois elementos para formar um terceiro, satisfazendo quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. No nosso caso, é um grupo com elementos.

Passo 3

Agora, queremos relacionar com , que é o grupo de todas as permutaçãos de elementos. Cada permutação é simplesmente uma rearranjo dos elementos. tem elementos, mas nosso objetivo é mostrar que se encaixa dentro dele como um subgrupo.

Passo 4

Para isso, vamos usar a ação de grupo. Imagine que age sobre si mesmo pela operação de multiplicação à esquerda. Ou seja, para cada elemento em , definimos uma permutação onde para todo em .

Passo 5

Essa ação gera uma função de em . Precisamos mostrar que essa função é um isomorfismo, ou seja, uma bijeção que preserva a estrutura do grupo. Primeiro, notamos que cada é injetora porque se , então , o que implica . Como é finito, a injetividade garante também a sobrejetividade.

Passo 6

Além disso, essa função preserva a operação do grupo, pois . Isso mostra que a estrutura do grupo é mantida na correspondência.

Passo 7

Portanto, a função que mapeia cada em para a permutação em é um isomorfismo de grupos. Isso significa que é estruturalmente igual a um subgrupo de .

Resposta

Concluímos que todo grupo finito de ordem é isomorfo a um subgrupo de , provando assim o Teorema de Cayley.

Exercícios relacionados

Seja um grupo e tal que , onde é o mínimo com tal propriedade. Prove que se e então divide .
Seja um grupo, para todo fixado, mostre que a aplicação definida por é um homomorfismo.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por
Seja onde é dada como na questão anterior. Mostre que munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.