Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a aplicação definida por é um homomorfismo de grupos. Isso quer dizer que precisamos ver se ela respeita a operação do grupo, que nesse caso é a multiplicação de números complexos. Para isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo e como a multiplicação funciona nos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função entre dois grupos é um homomorfismo se, para quaisquer dois elementos e do primeiro grupo, a imagem da operação entre eles é igual à operação das imagens desses elementos. No nosso caso, isso significa que para todo , a gente deve ter:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Vamos pegar dois números complexos quaisquer e . Primeiro, calculamos o produto :
Então, aplicando a função nesse produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular separadamente e e depois multiplicar essas imagens:
Multiplicando por :
Lembrando que , fica:

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Vemos que os termos imaginários são iguais, mas os termos reais são diferentes a menos que , o que não é garantido para todos os números complexos. Portanto, em geral, não é igual a .

Resposta

Não, a aplicação não é um homomorfismo de grupos.

Exercícios relacionados

O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem é isomorfo a um subgrupo de .
Seja um grupo e tal que , onde é o mínimo com tal propriedade. Prove que se e então divide .
Seja onde é dada como na questão anterior. Mostre que munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.
Verifique se ou é subgrupo do grupo multiplicativo das matrizes de ordem 2 inversíveis.