Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b)
definida por
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a aplicação
definida por
é um homomorfismo de grupos. Isso quer dizer que precisamos ver se ela respeita a operação do grupo, que nesse caso é a multiplicação de números complexos. Para isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo e como a multiplicação funciona nos números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função entre dois grupos é um homomorfismo se, para quaisquer dois elementos
e
do primeiro grupo, a imagem da operação entre eles é igual à operação das imagens desses elementos. No nosso caso, isso significa que para todo
, a gente deve ter:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Vamos pegar dois números complexos quaisquer
e
. Primeiro, calculamos o produto
:
Então, aplicando a função
nesse produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular separadamente
e
e depois multiplicar essas imagens:
Multiplicando
por
:
Lembrando que
, fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Vemos que os termos imaginários são iguais, mas os termos reais são diferentes a menos que
, o que não é garantido para todos os números complexos. Portanto, em geral,
não é igual a
.
Resposta
Não, a aplicação
não é um homomorfismo de grupos.
Exercícios relacionados
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem
é isomorfo a um subgrupo de
.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito
Seja
um grupo e
tal que
, onde
é o mínimo com tal propriedade. Prove que se
e
então
divide
.
Seja
onde
é dada como na questão anterior. Mostre que
munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.
Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
das matrizes de ordem 2 inversíveis.