Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) f:(C^*,) longrightarrow(C^*,) definida por f(a+b i)=a-b i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a aplicação definida por é um homomorfismo de grupos. Isso quer dizer que precisamos ver se ela respeita a operação do grupo, que nesse caso é a multiplicação de números complexos. Para isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo e como a multiplicação funciona nos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função entre dois grupos é um homomorfismo se, para quaisquer dois elementos f(z1 cdot z2) = f(z1) cdot f(z2) e do primeiro grupo, a imagem da operação entre eles é igual à operação das imagens desses elementos. No nosso caso, isso significa que para todo , a gente deve ter:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função z1 cdot z2 = (a + b i)(c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c)i . Vamos pegar dois números complexos quaisquer f(z1 cdot z2) = (a c - b d) - (a d + b c)i e . Primeiro, calculamos o produto :
Então, aplicando a função nesse produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular separadamente f(z1) = a - b i e f(z2) = c - d i e depois multiplicar essas imagens:
f(z1) cdot f(z2) = (a - b i)(c - d i) = (a c - a d i - b c i + b d i^2)
f(z1) cdot f(z2) = (a c + b d) - (a d + b c)i
Multiplicando por :
Lembrando que , fica:

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
f(z1 cdot z2) = (a c - b d) - (a d + b c)i
f(z1) cdot f(z2) = (a c + b d) - (a d + b c)i
Vemos que os termos imaginários são iguais, mas os termos reais são diferentes a menos que , o que não é garantido para todos os números complexos. Portanto, em geral, não é igual a .

Resposta

Não, a aplicação não é um homomorfismo de grupos.

Exercícios relacionados