Seja A=fx: G longrightarrow G ; x in G onde fx é dada como na questão anterior. Mostre que A munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto composto por funções que mapeiam um grupo para ele mesmo, ou seja, , onde cada depende de um elemento de . A tarefa é mostrar que , quando a gente considera a operação de composição de funções, forma um grupo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Fechamento: Se você aplicar a operação a dois elementos quaisquer do grupo, o resultado também está no grupo.
  2. Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, a ordem como você agrupa os elementos não altera o resultado.
  3. Elemento Neutro: Deve existir um elemento no grupo que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, não altera esse elemento.
  4. Inversos: Para cada elemento do grupo, deve existir outro elemento que, quando operado juntos, resulta no elemento neutro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto com a operação de composição de funções.

Passo 3

Fechamento: Precisamos mostrar que se pegarmos duas funções (fx circ fy)(g) = fx(fy(g)) = fx(yg) = x(yg) = (xy)g = fxy(g) e de , a composição também está em . Ou seja, existe algum em tal que .
Sabemos que e para todo . Então,
Como é um elemento de (já que é um grupo e, portanto, fechado), pertence a . Assim, é fechado sob composição.

Passo 4

Associatividade: A operação de composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer três funções fx circ (fy circ fz) = (fx circ fy) circ fz em , temos:
Isso é verdade porque a composição de funções segue a associatividade natural das aplicações. Portanto, não precisamos fazer cálculos adicionais aqui; sabemos que essa propriedade está satisfeita.

Passo 5

Elemento Neutro: Precisamos encontrar uma função em fe circ fx(g) = fe(fx(g)) = fe(xg) = e(xg) = exg = xg = fx(g) que, quando composta com qualquer outra função de fx circ fe(g) = fx(fe(g)) = fx(eg) = x(eg) = xe g = xg = fx(g) , não altera essa função. O elemento neutro na composição de funções é a função identidade.
Vamos definir onde é o elemento neutro de . Então, para qualquer em :
Como é o elemento neutro de , atua como a função identidade. Assim, está em e serve como o elemento neutro.

Passo 6

Inversos: Para cada função fx circ fx^-1 = fe e fx^-1 circ fx = fe em (fx circ fx^-1)(g) = fx(fx^-1(g)) = fx(x^-1g) = x(x^-1g) = (xx^-1)g = e g = fe(g) , precisamos encontrar uma função (fx^-1 circ fx)(g) = fx^-1(fx(g)) = fx^-1(xg) = x^-1(xg) = (x^-1x)g = e g = fe(g) também em tal que:
Vamos verificar isso:
Então, é de fato o inverso de em .

Resposta

Comprovamos que satisfaz todas as propriedades de um grupo sob a operação de composição de funções. Portanto, munido dessa operação é um grupo.

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