Seja onde é dada como na questão anterior. Mostre que munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto composto por funções que mapeiam um grupo para ele mesmo, ou seja, , onde cada depende de um elemento de . A tarefa é mostrar que , quando a gente considera a operação de composição de funções, forma um grupo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Fechamento: Se você aplicar a operação a dois elementos quaisquer do grupo, o resultado também está no grupo.
  2. Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, a ordem como você agrupa os elementos não altera o resultado.
  3. Elemento Neutro: Deve existir um elemento no grupo que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, não altera esse elemento.
  4. Inversos: Para cada elemento do grupo, deve existir outro elemento que, quando operado juntos, resulta no elemento neutro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto com a operação de composição de funções.

Passo 3

Fechamento: Precisamos mostrar que se pegarmos duas funções e de , a composição também está em . Ou seja, existe algum em tal que .
Sabemos que e para todo . Então,
Como é um elemento de (já que é um grupo e, portanto, fechado), pertence a . Assim, é fechado sob composição.

Passo 4

Associatividade: A operação de composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer três funções em , temos:
Isso é verdade porque a composição de funções segue a associatividade natural das aplicações. Portanto, não precisamos fazer cálculos adicionais aqui; sabemos que essa propriedade está satisfeita.

Passo 5

Elemento Neutro: Precisamos encontrar uma função em que, quando composta com qualquer outra função de , não altera essa função. O elemento neutro na composição de funções é a função identidade.
Vamos definir onde é o elemento neutro de . Então, para qualquer em :
Como é o elemento neutro de , atua como a função identidade. Assim, está em e serve como o elemento neutro.

Passo 6

Inversos: Para cada função em , precisamos encontrar uma função também em tal que:
Vamos verificar isso:
Então, é de fato o inverso de em .

Resposta

Comprovamos que satisfaz todas as propriedades de um grupo sob a operação de composição de funções. Portanto, munido dessa operação é um grupo.

Exercícios relacionados

Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem é isomorfo a um subgrupo de .
Verifique se ou é subgrupo do grupo multiplicativo das matrizes de ordem 2 inversíveis.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por