Seja
onde
é dada como na questão anterior. Mostre que
munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
composto por funções
que mapeiam um grupo
para ele mesmo, ou seja,
, onde cada
depende de um elemento
de
. A tarefa é mostrar que
, quando a gente considera a operação de composição de funções, forma um grupo. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo e verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
- Fechamento: Se você aplicar a operação a dois elementos quaisquer do grupo, o resultado também está no grupo.
- Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, a ordem como você agrupa os elementos não altera o resultado.
- Elemento Neutro: Deve existir um elemento no grupo que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, não altera esse elemento.
- Inversos: Para cada elemento do grupo, deve existir outro elemento que, quando operado juntos, resulta no elemento neutro.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
com a operação de composição de funções.
Passo 3
Fechamento: Precisamos mostrar que se pegarmos duas funções
e
de
, a composição
também está em
. Ou seja, existe algum
em
tal que
.
Sabemos que
e
para todo
. Então,
Como
é um elemento de
(já que
é um grupo e, portanto, fechado),
pertence a
. Assim,
é fechado sob composição.
Passo 4
Associatividade: A operação de composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer três funções
em
, temos:
Isso é verdade porque a composição de funções segue a associatividade natural das aplicações. Portanto, não precisamos fazer cálculos adicionais aqui; sabemos que essa propriedade está satisfeita.
Passo 5
Elemento Neutro: Precisamos encontrar uma função em
que, quando composta com qualquer outra função de
, não altera essa função. O elemento neutro na composição de funções é a função identidade.
Vamos definir
onde
é o elemento neutro de
. Então, para qualquer
em
:
Como
é o elemento neutro de
,
atua como a função identidade. Assim,
está em
e serve como o elemento neutro.
Passo 6
Inversos: Para cada função
em
, precisamos encontrar uma função
também em
tal que:
Vamos verificar isso:
Então,
é de fato o inverso de
em
.
Resposta
Comprovamos que
satisfaz todas as propriedades de um grupo sob a operação de composição de funções. Portanto,
munido dessa operação é um grupo.
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Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por
b)
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem
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.
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Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
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Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por
c)