Seja G um grupo e x in G tal que x^k=e, onde k in Z^* é o mínimo com tal propriedade. Prove que se m in Z^* e x^m=e então k divide m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo e um elemento desse grupo que, quando elevado à potência , dá a identidade . Esse é o menor número inteiro positivo que faz isso acontecer. A gente precisa provar que, se existe outro número inteiro tal que , então divide . Vamos usar conceitos de teoria de grupos e propriedades de divisibilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de em é o menor número inteiro positivo tal que . Isso significa que não existe nenhum número menor que que, quando usado como expoente em , nos dá a identidade.

Passo 3

Agora, suponha que existe um inteiro tal que . Nosso objetivo é mostrar que divide , ou seja, que é múltiplo de .

Passo 4

Pela definição de ordem, sabemos que é o menor número para o qual . Se , então deve ser um múltiplo de , caso contrário, existiria um número menor que que também satisfaz , o que contraria a minimalidade de .

Passo 5

Vamos formalizar isso usando a divisão inteira. Podemos escrever m = qk + r como:
onde é o quociente e é o resto da divisão de por , com .

Passo 6

Elevando x^m = x^qk + r = x^qk cdot x^r a essa expressão, temos:
x^m = e cdot x^r = x^r
Como , então . Portanto:

Passo 7

Mas sabemos que x^r = e , então:

Passo 8

Pela definição de como a menor potência que resulta em , o resto deve ser zero. Se fosse maior que zero, isso implicaria que não era o mínimo, o que é uma contradição.

Resposta

Assim, concluímos que , o que significa que divide . Portanto, se com mínimo e , então divide .

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