Seja um grupo e tal que , onde é o mínimo com tal propriedade. Prove que se e então divide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo e um elemento desse grupo que, quando elevado à potência , dá a identidade . Esse é o menor número inteiro positivo que faz isso acontecer. A gente precisa provar que, se existe outro número inteiro tal que , então divide . Vamos usar conceitos de teoria de grupos e propriedades de divisibilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de em é o menor número inteiro positivo tal que . Isso significa que não existe nenhum número menor que que, quando usado como expoente em , nos dá a identidade.

Passo 3

Agora, suponha que existe um inteiro tal que . Nosso objetivo é mostrar que divide , ou seja, que é múltiplo de .

Passo 4

Pela definição de ordem, sabemos que é o menor número para o qual . Se , então deve ser um múltiplo de , caso contrário, existiria um número menor que que também satisfaz , o que contraria a minimalidade de .

Passo 5

Vamos formalizar isso usando a divisão inteira. Podemos escrever como:
onde é o quociente e é o resto da divisão de por , com .

Passo 6

Elevando a essa expressão, temos:
Como , então . Portanto:

Passo 7

Mas sabemos que , então:

Passo 8

Pela definição de como a menor potência que resulta em , o resto deve ser zero. Se fosse maior que zero, isso implicaria que não era o mínimo, o que é uma contradição.

Resposta

Assim, concluímos que , o que significa que divide . Portanto, se com mínimo e , então divide .

Exercícios relacionados

Seja um grupo, para todo fixado, mostre que a aplicação definida por é um homomorfismo.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) definida por
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de , onde é um grupo das permutações de um conjunto com elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem é isomorfo a um subgrupo de .
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por