Seja
um grupo e
tal que
, onde
é o mínimo com tal propriedade. Prove que se
e
então
divide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo
e um elemento
desse grupo que, quando elevado à potência
, dá a identidade
. Esse
é o menor número inteiro positivo que faz isso acontecer. A gente precisa provar que, se existe outro número inteiro
tal que
, então
divide
. Vamos usar conceitos de teoria de grupos e propriedades de divisibilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de
em
é o menor número inteiro positivo
tal que
. Isso significa que não existe nenhum número menor que
que, quando usado como expoente em
, nos dá a identidade.
Passo 3
Agora, suponha que existe um inteiro
tal que
. Nosso objetivo é mostrar que
divide
, ou seja, que
é múltiplo de
.
Passo 4
Pela definição de ordem, sabemos que
é o menor número para o qual
. Se
, então
deve ser um múltiplo de
, caso contrário, existiria um número menor que
que também satisfaz
, o que contraria a minimalidade de
.
Passo 5
Vamos formalizar isso usando a divisão inteira. Podemos escrever
como:
onde
é o quociente e
é o resto da divisão de
por
, com
.
Passo 6
Elevando
a essa expressão, temos:
Como
, então
. Portanto:
Passo 7
Mas sabemos que
, então:
Passo 8
Pela definição de
como a menor potência que resulta em
, o resto
deve ser zero. Se
fosse maior que zero, isso implicaria que
não era o mínimo, o que é uma contradição.
Resposta
Assim, concluímos que
, o que significa que
divide
. Portanto, se
com
mínimo e
, então
divide
.
Exercícios relacionados
Seja
um grupo, para todo
fixado, mostre que a aplicação
definida por
é um homomorfismo.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) definida por
a)
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito de ordem
é isomorfo a um subgrupo de
.
(d) Conclua o Teorema de Cayley: Todo grupo finito
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por
b)