Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c)
definida por
c)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para verificar se a aplicação
definida por
é um homomorfismo de grupos. Aqui, estamos trabalhando com grupos, que são conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo certas regras. Para resolver isso, precisamos entender o que é um homomorfismo de grupos e verificar se a aplicação
preserva a operação dos grupos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que mantém a estrutura do grupo, ou seja, se
é um homomorfismo, então para quaisquer elementos
em
, temos:
Isso quer dizer que a função
respeita a operação do grupo, seja ela qual for (adição, multiplicação, etc.).
Passo 3
No nosso caso, o primeiro grupo é
, que representa os números complexos não nulos com a operação de multiplicação. O segundo grupo é
, que são as matrizes 2x2 invertíveis com a operação de multiplicação de matrizes. A função
mapeia cada número complexo
para uma matriz específica.
Passo 4
Para verificar se
é um homomorfismo, vamos pegar dois elementos quaisquer de
, digamos
e
, e ver se:
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, aplicamos a função
no produto
:
Passo 6
Em seguida, calculamos
e
separadamente:
E multiplicamos essas duas matrizes:
Passo 7
Comparando
com
:
Vemos que as duas matrizes são iguais, o que satisfaz a condição para ser um homomorfismo.
Resposta
Sim, a aplicação
é um homomorfismo de grupos.
Exercícios relacionados
Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
das matrizes de ordem 2 inversíveis.
Seja
onde
é dada como na questão anterior. Mostre que
munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.
Prove que
é isomorfo a
, onde
é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.
O objetivo desta questão é provar o Teorema de Cayley que diz basicamente que todo grupo finito possui uma cópia sua dentro de
, onde
é um grupo das permutações de um conjunto com
elementos.
(a) Seja um grupo e
. Mostre que
definida por
é um homomorfismo bijetivo (isomorfismo).
(a) Seja