Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) f:(C^*,) longrightarrow G L2(R) definida por f(a+b i)=(cca & -b b & a)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para verificar se a aplicação a & -b b & a definida por é um homomorfismo de grupos. Aqui, estamos trabalhando com grupos, que são conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo certas regras. Para resolver isso, precisamos entender o que é um homomorfismo de grupos e verificar se a aplicação preserva a operação dos grupos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que mantém a estrutura do grupo, ou seja, se f(x cdot y) = f(x) cdot f(y) é um homomorfismo, então para quaisquer elementos em , temos:
Isso quer dizer que a função respeita a operação do grupo, seja ela qual for (adição, multiplicação, etc.).

Passo 3

No nosso caso, o primeiro grupo é , que representa os números complexos não nulos com a operação de multiplicação. O segundo grupo é , que são as matrizes 2x2 invertíveis com a operação de multiplicação de matrizes. A função mapeia cada número complexo para uma matriz específica.

Passo 4

Para verificar se f(z1 cdot z2) = f(z1) cdot f(z2) é um homomorfismo, vamos pegar dois elementos quaisquer de z1 cdot z2 = (a + b i)(c + d i) = (ac - bd) + (ad + bc)i , digamos e , e ver se:
Primeiro, calculamos :

Passo 5

Agora, aplicamos a função f(z1 cdot z2) = ac - bd & - (ad + bc) ad + bc & ac - bd no produto :

Passo 6

Em seguida, calculamos f(z1) = a & -b b & a e f(z2) = c & -d d & c separadamente:
f(z1) cdot f(z2) = a & -b b & a c & -d d & c = ac - bd & -ad - bc bc + ad & ac - bd
E multiplicamos essas duas matrizes:

Passo 7

Comparando f(z1 cdot z2) = f(z1) cdot f(z2) com :
Vemos que as duas matrizes são iguais, o que satisfaz a condição para ser um homomorfismo.

Resposta

Sim, a aplicação é um homomorfismo de grupos.

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