Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para verificar se a aplicação definida por é um homomorfismo de grupos. Aqui, estamos trabalhando com grupos, que são conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo certas regras. Para resolver isso, precisamos entender o que é um homomorfismo de grupos e verificar se a aplicação preserva a operação dos grupos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que mantém a estrutura do grupo, ou seja, se é um homomorfismo, então para quaisquer elementos em , temos:
Isso quer dizer que a função respeita a operação do grupo, seja ela qual for (adição, multiplicação, etc.).

Passo 3

No nosso caso, o primeiro grupo é , que representa os números complexos não nulos com a operação de multiplicação. O segundo grupo é , que são as matrizes 2x2 invertíveis com a operação de multiplicação de matrizes. A função mapeia cada número complexo para uma matriz específica.

Passo 4

Para verificar se é um homomorfismo, vamos pegar dois elementos quaisquer de , digamos e , e ver se:
Primeiro, calculamos :

Passo 5

Agora, aplicamos a função no produto :

Passo 6

Em seguida, calculamos e separadamente:
E multiplicamos essas duas matrizes:

Passo 7

Comparando com :
Vemos que as duas matrizes são iguais, o que satisfaz a condição para ser um homomorfismo.

Resposta

Sim, a aplicação é um homomorfismo de grupos.

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