Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a integral . Nosso objetivo aqui é verificar se essa integral converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o comportamento da função quando tende ao infinito. Quando fica muito grande, fica bem pequeno, próximo de zero. Sabemos que para valores pequenos de , . Então, podemos aproximar:
Elevando ao quadrado:

Passo 3

Agora, com essa aproximação, nossa integral original se comporta como:
Sabemos que a integral converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que a integral converge.

Passo 4

Como a função é comparável a para grandes e já vimos que a integral de converge, podemos concluir que a integral original também converge por comparação.

Resposta

A integral converge.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional ( ) e a força de arrasto ( ), onde são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é , reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para .
Verifique a convergência das seguintes integrais:
h)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
n)