Verifique a convergência das seguintes integrais:
c) integral1^infty sen^2(1x) d x

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a integral . Nosso objetivo aqui é verificar se essa integral converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e testes de comparação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o comportamento da função sin(1x) approx 1x quando sin^2(1x) approx (1x)^2 = 1x^2 tende ao infinito. Quando fica muito grande, fica bem pequeno, próximo de zero. Sabemos que para valores pequenos de , . Então, podemos aproximar:
Elevando ao quadrado:

Passo 3

Agora, com essa aproximação, nossa integral original se comporta como:
integral1^infty 1x^2 dx
Sabemos que a integral converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que a integral converge.

Passo 4

Como a função é comparável a para grandes e já vimos que a integral de converge, podemos concluir que a integral original também converge por comparação.

Resposta

A integral converge.

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