Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)
c)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a integral
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa integral converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o comportamento da função
quando
tende ao infinito. Quando
fica muito grande,
fica bem pequeno, próximo de zero. Sabemos que para valores pequenos de
,
. Então, podemos aproximar:
Elevando ao quadrado:
Passo 3
Agora, com essa aproximação, nossa integral original se comporta como:
Sabemos que a integral
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Isso significa que a integral
converge.
Passo 4
Como a função
é comparável a
para
grandes e já vimos que a integral de
converge, podemos concluir que a integral original também converge por comparação.
Resposta
A integral
converge.