Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)
c)
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a integral
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa integral converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e testes de comparação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o comportamento da função
quando
tende ao infinito. Quando
fica muito grande,
fica bem pequeno, próximo de zero. Sabemos que para valores pequenos de
,
. Então, podemos aproximar:
Elevando ao quadrado:
Passo 3
Agora, com essa aproximação, nossa integral original se comporta como:
Sabemos que a integral
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Isso significa que a integral
converge.
Passo 4
Como a função
é comparável a
para
grandes e já vimos que a integral de
converge, podemos concluir que a integral original também converge por comparação.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional (
) e a força de arrasto (
), onde
são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é
, reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para
.
Verifique a convergência das seguintes integrais:
h)
h)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
n)
n)