Um objeto executa um MHS com período de 0,900 s e amplitude igual a 0,320 m. Em t=0, o objeto está em x=0,320 m e instantaneamente em repouso. Calcule o tempo gasto para o objeto passar de x=0,320 m para x=0,160 m

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que está executando um Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente sabe que o período desse movimento é de 0,900, s e que a amplitude é de 0,320, m. No instante inicial, t=0, o objeto está na posição máxima de x=0,320, m e está parado. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o objeto leva para passar dessa posição máxima de 0,320, m até uma posição de x=0,160, m.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no MHS, a posição do objeto em função do tempo é dada pela equação:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Aqui, A é a amplitude, omega é a frequência angular e phi é a fase inicial.

Passo 3

A gente precisa encontrar a frequência angular omega. Sabemos que o período T está relacionado à frequência angular pela fórmula:
omega = 2piT
Substituindo o valor do período:
omega = 2pi0,900, s
omega approx 6,981, rad/s

Passo 4

Agora, vamos determinar a fase inicial phi. Sabemos que no tempo t=0, o objeto está na posição máxima ( x = A) e em repouso. Isso significa que:
x(0) = A cos(phi) = A
Para isso acontecer, o cosseno deve ser 1, ou seja:
cos(phi) = 1
Isso acontece quando phi = 0.

Passo 5

Com omega e phi determinados, a equação da posição fica:
x(t) = 0,320, m cdot cos(6,981, t)
Queremos encontrar o tempo t quando x(t) = 0,160, m. Vamos igualar:
0,160 = 0,320 cos(6,981, t)
Dividindo ambos os lados por 0,320:
0,5 = cos(6,981, t)

Passo 6

Agora, vamos resolver para t. Sabemos que:
cos(theta) = 0,5
Isso ocorre quando:
theta = pi3
Então:
6,981, t = pi3
Isolando t:
t = pi3 times 6,981
t approx 3,141620,943
t approx 0,150, s

Resposta

O tempo gasto para o objeto passar de x=0,320, m para x=0,160, m é aproximadamente 0,150, s.

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