Um objeto executa um MHS com período de e amplitude igual a . , o objeto está em e instantaneamente em repouso. Calcule o tempo gasto para o objeto passar de para

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que está executando um Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente sabe que o período desse movimento é de e que a amplitude é de . No instante inicial, , o objeto está na posição máxima de e está parado. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o objeto leva para passar dessa posição máxima de até uma posição de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no MHS, a posição do objeto em função do tempo é dada pela equação:
Aqui, é a amplitude, é a frequência angular e é a fase inicial.

Passo 3

A gente precisa encontrar a frequência angular . Sabemos que o período está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo o valor do período:

Passo 4

Agora, vamos determinar a fase inicial . Sabemos que no tempo , o objeto está na posição máxima ( ) e em repouso. Isso significa que:
Para isso acontecer, o cosseno deve ser 1, ou seja:
Isso acontece quando .

Passo 5

Com e determinados, a equação da posição fica:
Queremos encontrar o tempo quando . Vamos igualar:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Sabemos que:
Isso ocorre quando:
Então:
Isolando :

Resposta

O tempo gasto para o objeto passar de para é aproximadamente .

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