Um objeto executa um MHS com período de
e amplitude igual a
.
, o objeto está em
e instantaneamente em repouso. Calcule o tempo gasto para o objeto passar de
para
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que está executando um Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente sabe que o período desse movimento é de
e que a amplitude é de
. No instante inicial,
, o objeto está na posição máxima de
e está parado. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o objeto leva para passar dessa posição máxima de
até uma posição de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que no MHS, a posição do objeto em função do tempo é dada pela equação:
Aqui,
é a amplitude,
é a frequência angular e
é a fase inicial.
Passo 3
A gente precisa encontrar a frequência angular
. Sabemos que o período
está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo o valor do período:
Passo 4
Agora, vamos determinar a fase inicial
. Sabemos que no tempo
, o objeto está na posição máxima (
) e em repouso. Isso significa que:
Para isso acontecer, o cosseno deve ser 1, ou seja:
Isso acontece quando
.
Passo 5
Com
e
determinados, a equação da posição fica:
Queremos encontrar o tempo
quando
. Vamos igualar:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Sabemos que:
Isso ocorre quando:
Então:
Isolando
:
Resposta
O tempo gasto para o objeto passar de
para
é aproximadamente
.