Um objeto, flutuando em mercúrio, possui de seu volume submerso. Se uma quantidade suficiente de água for adicionada de forma a cobrir o objeto, qual será a fração de seu volume que permanecerá imerso no mercúrio?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um objeto que está flutuando em mercúrio, com 1/4 do seu volume submerso. Aí, a gente adiciona água suficiente para cobrir o objeto. A pergunta é: quanto do volume do objeto vai ficar submerso no mercúrio depois disso? Vamos usar o princípio de Arquimedes e entender um pouco sobre densidades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do princípio de Arquimedes, que diz que a força de empuxo que atua sobre um objeto imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado por esse objeto. Ou seja, se o objeto está flutuando, o peso do fluido deslocado deve ser igual ao peso do objeto.
Passo 3
Agora, vamos considerar as densidades. Sabemos que a densidade do mercúrio () é cerca de 13,6 g/cm³ e a densidade da água () é aproximadamente 1 g/cm³. Essas densidades são importantes para calcular o empuxo em cada fluido.
Passo 4
Inicialmente, sem a água, apenas o mercúrio está agindo sobre o objeto. Como 1/4 do volume está submerso, o empuxo fornecido pelo mercúrio é igual ao peso do objeto:
Onde é o volume submerso.
Passo 5
Após adicionar a água, o objeto está agora imerso em dois fluidos: a água e o mercúrio. Vamos chamar de volume submerso na água e de volume submerso no mercúrio. O empuxo total agora é a soma dos empuxos de cada fluido:
Como o objeto está totalmente coberto pela água e mantido no mercúrio, a soma dos volumes submersos em cada fluido é igual ao volume total submerso:
Passo 6
Sabemos que inicialmente, sem a água, , onde é o volume total do objeto. Como o peso do objeto não muda, a equação de empuxo permanece a mesma:
Passo 7
Vamos relacionar os volumes submersos. Como a água está cobrindo o objeto, . Vamos substituir na equação de empuxo:
Passo 8
Distribuindo a densidade da água:
Agrupando os termos com :
Passo 9
Isolando :
Isso parece indicar que não mudou, mas precisamos reavaliar nossa abordagem.
Passo 10
Vamos corrigir a equação. A parte correta da equação após distribuir deve ser:
Movendo todos os termos com para um lado:
Simplificando:
Isso ainda não está correto. Precisamos ajustar a abordagem.
Passo 11
Vamos considerar a posição final do objeto. O peso total é suportado pelos empuxos da água e do mercúrio:
Sabemos que inicialmente:
Então:
E também:
Mas precisamos determinar a partir das novas condições.
Passo 12
Considerando que o objeto está agora parcialmente imerso em água e mercúrio, vamos relacionar as densidades:
Substituindo os valores:
Então, a fração submersa no mercúrio será:
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos simplificar.
Passo 13
A fração submersa no mercúrio é dada por:
Substituindo:
Convertendo para fração:
Resposta
A fração do volume do objeto que permanecerá imerso no mercúrio é aproximadamente 0,19.