Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2).
Estabelecer as equações paramétricas da reta suporte da mediana do triângulo A B C relativa ao lado BC.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que precisamos fazer. Temos um triângulo com os vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). Queremos encontrar as equações paramétricas da reta que é a mediana relativa ao lado BC. Mediana é uma reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Para isso, precisamos saber:
  • Como encontrar o ponto médio de um segmento de reta.
  • Como determinar as equações paramétricas de uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio M do lado BC. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos B(xb, yb, zb) e C(xc, yc, zc) é:
M = ( xb + xc2, yb + yc2, zb + zc2 )
Vamos calcular isso com as coordenadas de B e C:
M = ( 2 + (-4)2, -1 + 52, -6 + 22 ) = ( -22, 42, -42 ) = (-1, 2, -2)

Passo 3

Agora que temos o ponto médio M(-1, 2, -2), vamos encontrar o vetor direção da mediana. Esse vetor vai de A(1,0,-2) até M(-1,2,-2). Para encontrar o vetor direção v, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de M:
v = M - A = (-1 - 1, 2 - 0, -2 - (-2)) = (-2, 2, 0)

Passo 4

Com o ponto A(1,0,-2) e o vetor direção v = (-2, 2, 0), podemos escrever as equações paramétricas da reta da mediana. A forma geral das equações paramétricas de uma reta no espaço é:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta e (a, b, c) é o vetor direção. Substituindo os valores, temos:
x = 1 - 2t y = 0 + 2t z = -2 + 0t
Simplificando:
x = 1 - 2t y = 2t z = -2

Resposta

As equações paramétricas da reta suporte da mediana relativa ao lado BC são:
x = 1 - 2t y = 2t z = -2

Exercícios relacionados