Um objeto gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular de uma reta de referência do objeto é dada por
, em que
está em radianos e
em segundos. Considere um ponto do objeto situado a
do eixo de rotação. Em
, qual é o módulo (a) da componente tangencial e (b) da componente radial da aceleração do ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular dele é dada por
, onde
está em radianos e
em segundos. A gente quer encontrar, no tempo
, as componentes da aceleração do ponto que está a
do eixo: a tangencial e a radial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular, e as fórmulas das componentes da aceleração em movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
. Isso é simplesmente a derivada da posição angular
em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração angular
, que é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Passo 4
Com a aceleração angular em mãos, podemos achar a componente tangencial da aceleração usando a fórmula:
Onde
. Substituindo os valores em
:
Passo 5
Para a componente radial da aceleração, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos
em
:
Agora, substituímos na fórmula:
Resposta
(a) A componente tangencial da aceleração é
.
(b) A componente radial da aceleração é
.