Um objeto gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular de uma reta de referência do objeto é dada por , em que está em radianos e em segundos. Considere um ponto do objeto situado a do eixo de rotação. Em , qual é o módulo (a) da componente tangencial e (b) da componente radial da aceleração do ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular dele é dada por , onde está em radianos e em segundos. A gente quer encontrar, no tempo , as componentes da aceleração do ponto que está a do eixo: a tangencial e a radial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular, e as fórmulas das componentes da aceleração em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular . Isso é simplesmente a derivada da posição angular em relação ao tempo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular , que é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:

Passo 4

Com a aceleração angular em mãos, podemos achar a componente tangencial da aceleração usando a fórmula:
Onde . Substituindo os valores em :

Passo 5

Para a componente radial da aceleração, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos em :
Agora, substituímos na fórmula:

Resposta

(a) A componente tangencial da aceleração é ².
(b) A componente radial da aceleração é ².

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