Um objeto gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular de uma reta de referência do objeto é dada por theta(t)=3 t^4, em que theta está em radianos e t em segundos. Considere um ponto do objeto situado a 4,0 cm do eixo de rotação. Em t=2 s, qual é o módulo (a) da componente tangencial e (b) da componente radial da aceleração do ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que gira em torno de um eixo fixo, e a posição angular dele é dada por , onde está em radianos e em segundos. A gente quer encontrar, no tempo , as componentes da aceleração do ponto que está a do eixo: a tangencial e a radial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular, e as fórmulas das componentes da aceleração em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega(t) = dthetadt = ddt(3t^4) = 12t^3 . Isso é simplesmente a derivada da posição angular em relação ao tempo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular alpha(t) = domegadt = ddt(12t^3) = 36t^2 , que é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:

Passo 4

Com a aceleração angular em mãos, podemos achar a componente tangencial da aceleração usando a fórmula:
at = r cdot alpha
Onde at = 0,04 times 36 times (2)^2 = 0,04 times 36 times 4 = 0,04 times 144 = 5,76,m/s^2 . Substituindo os valores em :

Passo 5

Para a componente radial da aceleração, usamos a fórmula:
ar = r cdot omega^2
Primeiro, calculamos omega(2) = 12 times (2)^3 = 12 times 8 = 96,rad/s em ar = 0,04 times (96)^2 = 0,04 times 9216 = 368,64,m/s^2 :
Agora, substituímos na fórmula:

Resposta

(a) A componente tangencial da aceleração é ².
(b) A componente radial da aceleração é ².

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