Rompimento de um objeto: Um objeto se rompe em duas partes e as massas dos dois fragmentos m1 e m2 estão relacionadas por m2=2 m1. Utilizando a conservação do momento linear, encontre uma relação entre suas respectivas energias cinéticas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que se rompe em duas partes. As massas dessas partes são e , e elas estão relacionadas por . Nosso objetivo aqui é usar a conservação do momento linear para descobrir como as energias cinéticas dessas duas partes se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento linear. O momento linear ( p = m times v ) de um objeto é dado por:
onde é a massa e é a velocidade do objeto.
Como o objeto original se rompe, vamos supor que ele estava em repouso antes do rompimento. Isso significa que o momento linear total antes de se romper é zero.

Passo 3

Agora, depois do rompimento, temos duas partes com momentos p1 + p2 = 0 e m1 times v1 + m2 times v2 = 0 . Como o momento total deve ser conservado, temos:
m1 times v1 + 2m1 times v2 = 0
Substituindo pela expressão do momento:
v1 + 2v2 = 0 implies v1 = -2v2
Sabemos que , então substituindo:
Dividindo tudo por :
Isso nos mostra que a velocidade de é o dobro, mas em sentido contrário, da velocidade de .

Passo 4

Agora, vamos às energias cinéticas ( K = 12 m v^2 ). A energia cinética de cada fragmento é dada por:
K1 = 12 m1 v1^2
Calculando para cada parte:
K2 = 12 m2 v2^2
K1 = 12 m1 (2v2)^2 = 12 m1 times 4v2^2 = 2m1 v2^2
Substituindo K2 = 12 times 2m1 times v2^2 = m1 v2^2 e (o sinal negativo indica direção, mas a energia cinética considera apenas o módulo):

Resposta

A energia cinética do fragmento com massa K1 = 2K2 é o dobro da energia cinética do fragmento com massa , ou seja:

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