Um objeto é lançado fazendo um ângulo theta com a horizontal de forma que 0.
(b) Há algum lugar em que tais vetores são paralelos?
Justifique suas respostas

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um objeto lançado com um ângulo theta em relação à horizontal, onde 0 < theta < 90^circ. Queremos saber se há algum ponto no movimento onde certos vetores são paralelos. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de vetores de posição e velocidade em movimento projetil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento de um projétil, a velocidade do objeto tem duas componentes: horizontal e vertical. A componente horizontal da velocidade é constante e igual a v0costheta, onde v0 é a velocidade inicial. A componente vertical da velocidade varia com o tempo devido à aceleração da gravidade, sendo vy = v0sintheta - g t.

Passo 3

Agora, precisamos considerar os vetores que estamos comparando. Suponho que a questão refere-se aos vetores posição e velocidade. O vetor posição em função do tempo é dado por:
r(t) = (v0costheta cdot t),i + (v0sintheta cdot t - 12g t^2),j
e o vetor velocidade é:
v(t) = v0costheta,i + (v0sintheta - g t),j

Passo 4

Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Portanto, queremos encontrar se existe um tempo t tal que v(t) = lambda r(t) para algum escalar lambda.

Passo 5

Isso significa que as componentes correspondentes dos vetores devem satisfazer:
v0costheta = lambda v0costheta cdot t
v0sintheta - g t = lambda (v0sintheta cdot t - 12g t^2)
Da primeira equação, temos lambda = 1t.

Passo 6

Substituindo lambda = 1t na segunda equação:
v0sintheta - g t = 1t (v0sintheta cdot t - 12g t^2)
Simplificando:
v0sintheta - g t = v0sintheta - 12g t
Leva a -g t = -12g t, o que implica t = 0.

Resposta

Os vetores são paralelos apenas no instante inicial, t = 0, quando o objeto é lançado.

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