Um rifle capaz de atirar projéteis a uma velocidade de
é utilizado para disparar contra um alvo a
de distância. O rifle e o centro do alvo estão alinhados horizontalmente. Qual é a inclinação que deve ser dada ao rifle para que o projétil atinja o centro do alvo corretamente? [R.:
.]
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos um rifle que dispara projéteis a uma velocidade de
e o alvo está a uma distância de
. Tanto o rifle quanto o centro do alvo estão alinhados horizontalmente. Precisamos encontrar o ângulo de inclinação que o rifle deve ter para que o projétil atinja o centro do alvo corretamente.
Nesse problema, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre o movimento de projéteis. Precisaremos entender como o projétil se move tanto na direção horizontal quanto na vertical e como a gravidade afeta sua trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que o movimento do projétil pode ser decomposto em duas direções: horizontal e vertical.
- Movimento Horizontal: Não há aceleração, então a velocidade horizontal (
) permanece constante. - Movimento Vertical: A única aceleração é devido à gravidade (
), atuando para baixo.
A velocidade inicial do projétil pode ser decomposta nas componentes horizontal e vertical usando o ângulo de inclinação (
):
Passo 3
O tempo (
) que o projétil leva para atingir o alvo horizontalmente pode ser encontrado pela relação:
Onde:
-
é a distância até o alvo. -
é a velocidade inicial do projétil.
Passo 4
Durante esse tempo
, o projétil também se move na direção vertical. Para que o projétil atinja o centro do alvo, a sua posição vertical final deve ser zero (isto é, ele não deve cair ou subir em relação ao ponto de mira inicial). A posição vertical (
) é dada por:
Queremos que
, então:
Passo 5
Substituindo o valor de
da Passo 3 na equação acima:
Simplificando a equação:
Para ângulos pequenos, podemos aproximar
, então a equação se simplifica para:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o ângulo
, usamos a função arco-tangente (
):
Substituindo os valores:
Calculando os valores numéricos:
Resposta
A inclinação que deve ser dada ao rifle é de aproximadamente
.