Um rifle capaz de atirar projéteis a uma velocidade de 460 m / s é utilizado para disparar contra um alvo a 45,7 m de distância. O rifle e o centro do alvo estão alinhados horizontalmente. Qual é a inclinação que deve ser dada ao rifle para que o projétil atinja o centro do alvo corretamente? [R.: 0,061^circ.]

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um rifle que dispara projéteis a uma velocidade de e o alvo está a uma distância de . Tanto o rifle quanto o centro do alvo estão alinhados horizontalmente. Precisamos encontrar o ângulo de inclinação que o rifle deve ter para que o projétil atinja o centro do alvo corretamente.
Nesse problema, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre o movimento de projéteis. Precisaremos entender como o projétil se move tanto na direção horizontal quanto na vertical e como a gravidade afeta sua trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o movimento do projétil pode ser decomposto em duas direções: horizontal e vertical.
  • Movimento Horizontal: Não há aceleração, então a velocidade horizontal ( vx = v cdot cos(theta) ) permanece constante.
  • Movimento Vertical: A única aceleração é devido à gravidade ( vy = v cdot sin(theta) ), atuando para baixo.
A velocidade inicial do projétil pode ser decomposta nas componentes horizontal e vertical usando o ângulo de inclinação ( ):

Passo 3

O tempo ( t = xvx = xv cdot cos(theta) ) que o projétil leva para atingir o alvo horizontalmente pode ser encontrado pela relação:
Onde:
  • é a distância até o alvo.
  • é a velocidade inicial do projétil.

Passo 4

Durante esse tempo y = vy cdot t - 12 g t^2 , o projétil também se move na direção vertical. Para que o projétil atinja o centro do alvo, a sua posição vertical final deve ser zero (isto é, ele não deve cair ou subir em relação ao ponto de mira inicial). A posição vertical ( 0 = v cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2 ) é dada por:
Queremos que , então:

Passo 5

Substituindo o valor de 0 = v cdot sin(theta) cdot ( xv cdot cos(theta) ) - 12 g ( xv cdot cos(theta) )^2 da Passo 3 na equação acima:
0 = tan(theta) cdot x - g x^22 v^2 cos^2(theta)
Simplificando a equação:
tan(theta) approx g x2 v^2
Para ângulos pequenos, podemos aproximar , então a equação se simplifica para:

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ângulo theta = arctan( g x2 v^2 ) , usamos a função arco-tangente ( theta = arctan( 9,81 times 45,72 times 460^2 ) ):
theta = arctan( 448,617423200 ) approx arctan(0,001058) approx 0,0606^circ
Substituindo os valores:
Calculando os valores numéricos:

Resposta

A inclinação que deve ser dada ao rifle é de aproximadamente .

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