Um objeto de massa
oscila na ponta de uma mola vertical que tem uma constante elástica
. O efeito da resistência do ar é representada pelo coeficiente de amortecimento
. (a) Calcule a frequência da oscilação amortecida (suponha amortecimento subcrítico). Neste caso a frequência natural do sistema é afetada de maneira significativa pelo amortecimento? (b) Por quantos por cento a amplitude da oscilação decresce em cada ciclo? © Encontre o intervalo de tempo em que a energia do sistema é reduzida para 5% do seu valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto de massa
pendurado numa mola vertical com constante elástica
. Além disso, o ar exerce uma resistência representada pelo coeficiente de amortecimento
. A gente vai trabalhar com oscilações amortecidas aqui. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender frequências de oscilação amortecida, como o amortecimento afeta a frequência natural, cálculo da redução da amplitude por ciclo e como a energia do sistema diminui com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a frequência da oscilação amortecida. A frequência natural (
) sem amortecimento é dada por:
Substituindo os valores:
Isso nos dá a frequência natural do sistema sem considerar o amortecimento.
Passo 3
Agora, para a frequência amortecida (
), usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 4
A frequência da oscilação amortecida está praticamente igual à frequência natural, já que o termo envolvendo
é muito pequeno. Isso significa que o amortecimento subcrítico não afeta significativamente a frequência natural do sistema.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): calcular por quantos por cento a amplitude da oscilação decresce em cada ciclo. A redução da amplitude por ciclo devido ao amortecimento é dada por:
Onde
é o período da oscilação,
. Calculando
:
Então:
Isso significa que a amplitude decresce aproximadamente 1,99% a cada ciclo.
Passo 6
Por fim, na parte ©, queremos encontrar o intervalo de tempo em que a energia do sistema é reduzida para 5% do seu valor inicial. A energia em oscilações amortecidas decai exponencialmente conforme:
Queremos
:
Calculando:
Resposta
(a) A frequência da oscilação amortecida é aproximadamente
e o amortecimento subcrítico não afeta significativamente a frequência natural do sistema.
(b) A amplitude da oscilação decresce cerca de 2,00% a cada ciclo.
© O intervalo de tempo para a energia do sistema reduzir para 5% do valor inicial é aproximadamente
.
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