Um objeto de massa oscila na ponta de uma mola vertical que tem uma constante elástica . O efeito da resistência do ar é representada pelo coeficiente de amortecimento . (a) Calcule a frequência da oscilação amortecida (suponha amortecimento subcrítico). Neste caso a frequência natural do sistema é afetada de maneira significativa pelo amortecimento? (b) Por quantos por cento a amplitude da oscilação decresce em cada ciclo? © Encontre o intervalo de tempo em que a energia do sistema é reduzida para 5% do seu valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto de massa pendurado numa mola vertical com constante elástica . Além disso, o ar exerce uma resistência representada pelo coeficiente de amortecimento . A gente vai trabalhar com oscilações amortecidas aqui. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender frequências de oscilação amortecida, como o amortecimento afeta a frequência natural, cálculo da redução da amplitude por ciclo e como a energia do sistema diminui com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência da oscilação amortecida. A frequência natural ( ) sem amortecimento é dada por:
Substituindo os valores:
Isso nos dá a frequência natural do sistema sem considerar o amortecimento.

Passo 3

Agora, para a frequência amortecida ( ), usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos :
Então:

Passo 4

A frequência da oscilação amortecida está praticamente igual à frequência natural, já que o termo envolvendo é muito pequeno. Isso significa que o amortecimento subcrítico não afeta significativamente a frequência natural do sistema.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): calcular por quantos por cento a amplitude da oscilação decresce em cada ciclo. A redução da amplitude por ciclo devido ao amortecimento é dada por:
Onde é o período da oscilação, . Calculando :
Então:
Isso significa que a amplitude decresce aproximadamente 1,99% a cada ciclo.

Passo 6

Por fim, na parte ©, queremos encontrar o intervalo de tempo em que a energia do sistema é reduzida para 5% do seu valor inicial. A energia em oscilações amortecidas decai exponencialmente conforme:
Queremos :
Calculando:

Resposta

(a) A frequência da oscilação amortecida é aproximadamente e o amortecimento subcrítico não afeta significativamente a frequência natural do sistema.
(b) A amplitude da oscilação decresce cerca de 2,00% a cada ciclo.
© O intervalo de tempo para a energia do sistema reduzir para 5% do valor inicial é aproximadamente .

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