Um objeto de massa 10,6 kg oscila na ponta de uma mola vertical que tem uma constante elástica k=2,05 times 10^4 N / m. O efeito da resistência do ar é representada pelo coeficiente de amortecimento b=3,00 Ns/m. (a) Calcule a frequência da oscilação amortecida (suponha amortecimento subcrítico). Neste caso a frequência natural do sistema é afetada de maneira significativa pelo amortecimento? (b) Por quantos por cento a amplitude da oscilação decresce em cada ciclo? © Encontre o intervalo de tempo em que a energia do sistema é reduzida para 5% do seu valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto de massa pendurado numa mola vertical com constante elástica . Além disso, o ar exerce uma resistência representada pelo coeficiente de amortecimento . A gente vai trabalhar com oscilações amortecidas aqui. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender frequências de oscilação amortecida, como o amortecimento afeta a frequência natural, cálculo da redução da amplitude por ciclo e como a energia do sistema diminui com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência da oscilação amortecida. A frequência natural ( omega0 = raizkm ) sem amortecimento é dada por:
omega0 = raiz2,05 times 10^410,6 approx raiz1934,0 approx 43,98 , rad/s
Substituindo os valores:
Isso nos dá a frequência natural do sistema sem considerar o amortecimento.

Passo 3

Agora, para a frequência amortecida ( omegad = omega0 raiz1 - (b2raizkm)^2 ), usamos a fórmula:
b2raizkm = 3,002 times raiz2,05 times 10^4 times 10,6 = 3,002 times raiz2,173 times 10^5 approx 3,002 times 466,04 approx 0,00322
Primeiro, calculamos omegad = 43,98 times raiz1 - (0,00322)^2 approx 43,98 times raiz1 - 0,0000104 approx 43,98 times 0,999995 approx 43,98 , rad/s :
Então:

Passo 4

A frequência da oscilação amortecida está praticamente igual à frequência natural, já que o termo envolvendo é muito pequeno. Isso significa que o amortecimento subcrítico não afeta significativamente a frequência natural do sistema.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): calcular por quantos por cento a amplitude da oscilação decresce em cada ciclo. A redução da amplitude por ciclo devido ao amortecimento é dada por:
An+1An = e^-b T2m
Onde T = 2pi43,98 approx 0,1426 , s é o período da oscilação, An+1An = e^-3,00 times 0,14262 times 10,6 = e^-0,427821,2 approx e^-0,0202 approx 0,9801 . Calculando :
Então:
Isso significa que a amplitude decresce aproximadamente 1,99% a cada ciclo.

Passo 6

Por fim, na parte ©, queremos encontrar o intervalo de tempo em que a energia do sistema é reduzida para 5% do seu valor inicial. A energia em oscilações amortecidas decai exponencialmente conforme:
E(t) = E0 e^-bm t
Queremos 0,05 = e^-bm t Rightarrow ln(0,05) = -bm t Rightarrow t = -mb ln(0,05) :
t = -10,63,00 ln(0,05) approx -3,533 times (-2,996) approx 10,58 , s
Calculando:

Resposta

(a) A frequência da oscilação amortecida é aproximadamente e o amortecimento subcrítico não afeta significativamente a frequência natural do sistema.
(b) A amplitude da oscilação decresce cerca de 2,00% a cada ciclo.
© O intervalo de tempo para a energia do sistema reduzir para 5% do valor inicial é aproximadamente .

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