Um poste delgado de seção transversal uniforme tem massa
e altura
. (A) Calcule a energia potencial do poste apoiado no solo na posiçăo vertical considerando nula sua energia potencial quando na horizontal. (Sugestado: divida o poste em pequenas pastilhas finas e some a energia potencial das pastilhas). (B) Generalizando, calcule a energia potencial do poste em funçăo do ângulo
que cle faz com a horizontal.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de física sobre energia potencial de um poste. O enunciado diz que temos um poste fino, com massa
e altura
. Queremos calcular a energia potencial quando ele está na posição vertical, considerando que quando está na horizontal a energia potencial é zero. Para resolver isso, vamos dividir o poste em pequenas fatias, calcular a energia de cada uma e somar tudo. Isso envolve conceitos de energia potencial gravitacional e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o poste dividido em várias fatias fininhas, cada uma com uma pequena altura
. Essas fatias estão empilhadas ao longo da altura total
do poste.
Passo 3
Agora, precisamos achar a massa de cada fatia. Como o poste tem massa total
e altura
, a densidade linear de massa é
. Então, a massa de uma fatia com altura
é:
Passo 4
A energia potencial de cada fatia depende de sua posição vertical. Se medirmos a altura
a partir do solo, a energia potencial de uma fatia é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Para encontrar a energia potencial total do poste, vamos integrar
de
até
:
Calculando a integral:
Então:
Resposta
A energia potencial do poste na posição vertical é
.