Um poste delgado de seção transversal uniforme tem massa M e altura h. (A) Calcule a energia potencial do poste apoiado no solo na posiçăo vertical considerando nula sua energia potencial quando na horizontal. (Sugestado: divida o poste em pequenas pastilhas finas e some a energia potencial das pastilhas). (B) Generalizando, calcule a energia potencial do poste em funçăo do ângulo theta que cle faz com a horizontal.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de física sobre energia potencial de um poste. O enunciado diz que temos um poste fino, com massa e altura . Queremos calcular a energia potencial quando ele está na posição vertical, considerando que quando está na horizontal a energia potencial é zero. Para resolver isso, vamos dividir o poste em pequenas fatias, calcular a energia de cada uma e somar tudo. Isso envolve conceitos de energia potencial gravitacional e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o poste dividido em várias fatias fininhas, cada uma com uma pequena altura . Essas fatias estão empilhadas ao longo da altura total do poste.

Passo 3

Agora, precisamos achar a massa de cada fatia. Como o poste tem massa total dm = lambda , dy = Mh , dy e altura , a densidade linear de massa é . Então, a massa de uma fatia com altura é:

Passo 4

A energia potencial de cada fatia depende de sua posição vertical. Se medirmos a altura dU = g , y , dm = g , y , Mh , dy a partir do solo, a energia potencial de uma fatia é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Para encontrar a energia potencial total do poste, vamos integrar U = integral0^h g , y , Mh , dy = gMh integral0^h y , dy de integral0^h y , dy = h^22 até U = gMh cdot h^22 = gM h2 :
Calculando a integral:
Então:

Resposta

A energia potencial do poste na posição vertical é .

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