Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é V=12 k r^2.
c) Determine a frequência de revolução para a órbita circular;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa m que está se movimentando sob a ação de uma força central, com uma energia potencial dada por V = 12 k r^2, que é típica de um oscilador harmônico isotrópico. A gente precisa descobrir qual é a frequência de revolução dessa partícula quando ela está numa órbita circular, sabendo que o momento angular dela em relação à origem é L.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula se mover em uma órbita circular, a força central que está atuando nela deve fornecer a força centrípeta necessária para mantê-la nessa trajetória. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = m omega^2 r í
onde omega é a frequência angular da partícula.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a força que atua sobre a partícula a partir da energia potencial. A força central pode ser obtida derivando a energia potencial em relação à posição:
F = -dVdr = -ddr(12 k r^2) = -k r
O sinal negativo indica que a força é atrativa, ou seja, aponta para o centro.

Passo 4

Para que a órbita seja circular e estável, a força centrípeta fornecida pela força central deve ser igual à força requerida para manter a partícula na trajetória circular. Então, igualamos as duas forças:
m omega^2 r = k r
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por m r:
omega^2 = km

Passo 5

A frequência de revolução f está relacionada à frequência angular omega pela relação:
f = omega2pi
Substituindo omega = raizkm na equação acima, temos:
f = 12pi raizkm

Resposta

A frequência de revolução da órbita circular é
f = dfrac12pi raizdfrackm

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