Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=\frac{1}{2} k r^{2}$$
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é
.
c) Determine a frequência de revolução para a órbita circular;
como em um oscilador harmônico isotrópico. Considere que o momento angular da partícula em relação à origem é
c) Determine a frequência de revolução para a órbita circular;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa
que está se movimentando sob a ação de uma força central, com uma energia potencial dada por
, que é típica de um oscilador harmônico isotrópico. A gente precisa descobrir qual é a frequência de revolução dessa partícula quando ela está numa órbita circular, sabendo que o momento angular dela em relação à origem é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula se mover em uma órbita circular, a força central que está atuando nela deve fornecer a força centrípeta necessária para mantê-la nessa trajetória. A força centrípeta é dada por:
onde
é a frequência angular da partícula.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a força que atua sobre a partícula a partir da energia potencial. A força central pode ser obtida derivando a energia potencial em relação à posição:
O sinal negativo indica que a força é atrativa, ou seja, aponta para o centro.
Passo 4
Para que a órbita seja circular e estável, a força centrípeta fornecida pela força central deve ser igual à força requerida para manter a partícula na trajetória circular. Então, igualamos as duas forças:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
A frequência de revolução
está relacionada à frequência angular
pela relação:
Substituindo
na equação acima, temos:
Resposta
A frequência de revolução da órbita circular é