Um objeto move-se e sua posição é dada pela função r(t)=2 t^3 i-9 t^2 j+12 k (em metros). Calcule:
  1. A velocidade média do objeto entre t=0 e t=4 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a posição de um objeto em função do tempo, representada pela função vetorial $ r(t) = 2 t^{3} \mathbf{i} - 9 t^{2} \mathbf{j} + 12 \mathbf{k} $ (em metros). A gente precisa calcular a velocidade média desse objeto entre $ t = 0 $ e $ t = 4 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente de velocidade média, que é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média $ \mathbf{v}_{m} $ é definida como a variação do vetor posição $ \Delta \mathbf{r} $ dividida pelo intervalo de tempo $ \Delta t $:
vm
Onde:
  • $ r(t_1) $ é a posição no tempo inicial $ t_1 $.
  • $ r(t_2) $ é a posição no tempo final $ t_2 $.

Passo 3

Vamos calcular $ r(t) $ nos instantes $ t = 0 $ e $ t = 4 $:
Para $ t = 0 $:
r(t)
Para $ t = 4 $:
t = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a variação do vetor posição $ \Delta \mathbf{r} $:
De
Ou seja, $ \Delta \mathbf{r} = 128 \mathbf{i} - 144 \mathbf{j} $ metros.

Passo 5

O intervalo de tempo $ \Delta t $ é:
De

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da velocidade média:
vm = De

Resposta

A velocidade média do objeto entre $ t = 0 $ e $ t = 4 $ segundos é $ \mathbf{v}_{m} = 32 \mathbf{i} - 36 \mathbf{j} $ metros por segundo.

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