Um objeto move-se e sua posição é dada pela função
(em metros). Calcule:
2. A aceleração média entre
segundos.
2. A aceleração média entre
Passo 1
Beleza, a gente tem um objeto que se move seguindo a posição definida por $ r(t) = 2t^{3} \mathbf{i} - 9t^{2} \mathbf{j} + 12 \mathbf{k} $ (em metros). Queremos calcular a aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente como encontrar a aceleração média a partir das velocidades nos tempos inicial e final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de $ r(t) $:
Calculando cada derivada:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $:
Para $ t = 1 $:
Para $ t = 3 $:
Passo 4
A aceleração média é dada pela mudança na velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Ou seja:
Calculando a diferença das velocidades:
Dividindo pelo intervalo de tempo $ 2 $ segundos:
Resposta
A aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos é $ \mathbf{a}_{média} = 24 \mathbf{i} - 18 \mathbf{j} , m/s^{2} $.