Um objeto move-se e sua posição é dada pela função r(t)=2 t^3 i-9 t^2 j+12 k (em metros). Calcule:
2. A aceleração média entre t=1 e t=3 segundos.

Passo 1

Beleza, a gente tem um objeto que se move seguindo a posição definida por $ r(t) = 2t^{3} \mathbf{i} - 9t^{2} \mathbf{j} + 12 \mathbf{k} $ (em metros). Queremos calcular a aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente como encontrar a aceleração média a partir das velocidades nos tempos inicial e final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de $ r(t) $:
r(t)
Calculando cada derivada:
v(t) = dr(t)dt = ddt(2t^3) i - ddt(9t^2) j + ddt(12) k
Simplificando:
v(t) = 6t^2 i - 18t j + 0 k

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $:
Para $ t = 1 $:
t = 1
Para $ t = 3 $:
t = 3

Passo 4

A aceleração média é dada pela mudança na velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Ou seja:
Ace<=ração Média = v(3) - v(1)3 - 1 çãé
Calculando a diferença das velocidades:
v(3) - v(1) = (54 i - 54 j) - (6 i - 18 j) = 48 i - 36 j
Dividindo pelo intervalo de tempo $ 2 $ segundos:
2 çãé

Resposta

A aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos é $ \mathbf{a}_{média} = 24 \mathbf{i} - 18 \mathbf{j} , m/s^{2} $.

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