A posição de uma partícula é descrita pela função
(em metros).
Determine:
4. A aceleração média no intervalo entre
segundos.
Determine:
4. A aceleração média no intervalo entre
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a posição de uma partícula dada pela função vetorial $ r(t) = 10,\mathbf{i} + 4t,\mathbf{j} - t^{2},\mathbf{k} $ (em metros). O que a gente precisa descobrir é a aceleração média da partícula no intervalo de tempo entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente como calcular velocidade e aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos cada componente de $ r(t) $:
Portanto, a velocidade é $ v(t) = 4,\mathbf{j} - 2t,\mathbf{k} $ metros por segundo.
Passo 3
Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar $ v(t) $ para encontrar $ a(t) $:
Então, a aceleração é constante e igual a $ a(t) = -2,\mathbf{k} $ metros por segundo ao quadrado.
Passo 4
Mas a gente precisa da aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $. A aceleração média $ \overline{a} $ em um intervalo de tempo é dada por:
Onde $ t_{1} = 1 $ e $ t_{2} = 3 $. Vamos calcular $ v(1) $ e $ v(3) $:
Agora, subtraímos $ v(1) $ de $ v(3) $:
Resposta
Assim, a aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos é: