A posição de uma partícula é descrita pela função r(t)=10 i+4 t j-t^2 k (em metros).
Determine:
4. A aceleração média no intervalo entre t=1 e t=3 segundos.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a posição de uma partícula dada pela função vetorial $ r(t) = 10,\mathbf{i} + 4t,\mathbf{j} - t^{2},\mathbf{k} $ (em metros). O que a gente precisa descobrir é a aceleração média da partícula no intervalo de tempo entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente como calcular velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos cada componente de $ r(t) $:
v(t)
Portanto, a velocidade é $ v(t) = 4,\mathbf{j} - 2t,\mathbf{k} $ metros por segundo.

Passo 3

Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar $ v(t) $ para encontrar $ a(t) $:
v(t)
Então, a aceleração é constante e igual a $ a(t) = -2,\mathbf{k} $ metros por segundo ao quadrado.

Passo 4

Mas a gente precisa da aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $. A aceleração média $ \overline{a} $ em um intervalo de tempo é dada por:
t = 1
Onde $ t_{1} = 1 $ e $ t_{2} = 3 $. Vamos calcular $ v(1) $ e $ v(3) $:
t = 3
a
Agora, subtraímos $ v(1) $ de $ v(3) $:
a = v(t2) - v(t1)t2 - t1

Resposta

Assim, a aceleração média entre $ t = 1 $ e $ t = 3 $ segundos é:
t = 1

Exercícios relacionados