Um objeto se move com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória circular, em um plano
horizontal com centro na origem. Quando o objeto está em
sua velocidade é
. Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do objeto em
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que se move com velocidade constante ao longo de uma trajetória circular no plano horizontal
, com o centro na origem. Quando o objeto está em
, sua velocidade é
na direção
. Precisamos descobrir:
(a) Qual é a velocidade do objeto quando
?
(b) Qual é a aceleração do objeto quando
?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, que envolve entender como a velocidade e a aceleração se comportam em trajetórias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o raio da trajetória circular. Sabemos que quando
, o objeto está na posição
no plano
. Como o centro da trajetória é na origem
, o raio
é a distância do centro até esse ponto:
Passo 3
Sabemos que o objeto tem uma velocidade constante de
(o módulo da velocidade é 4 m/s). Em movimento circular uniforme, a velocidade vetorial está sempre tangente à trajetória do círculo.
Passo 4
Queremos encontrar a velocidade quando
. No ponto onde
, como o raio é 2 m, a posição do objeto é
. A velocidade está tangente à trajetória nesse ponto, o que significa que ela está na direção positiva do eixo
(horizontal).
Portanto, a velocidade vetorial é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração quando
. Em movimento circular uniforme, a aceleração é sempre centrípeta, ou seja, direcionada para o centro da trajetória.
A fórmula para a aceleração centrípeta
é:
Onde:
-
(velocidade constante) -
(raio da trajetória)
Calculando:
A direção da aceleração é sempre em direção ao centro. No ponto
, o centro está na origem
, então a aceleração está na direção negativa do eixo
(para baixo).
Portanto, a aceleração vetorial é:
Resposta
(a) A velocidade do objeto quando
é
.
(b) A aceleração do objeto quando
é
.