Um objeto se move com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória circular, em um plano horizontal com centro na origem. Quando o objeto está em sua velocidade é . Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do objeto em .

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que se move com velocidade constante ao longo de uma trajetória circular no plano horizontal , com o centro na origem. Quando o objeto está em , sua velocidade é na direção . Precisamos descobrir:
(a) Qual é a velocidade do objeto quando ?
(b) Qual é a aceleração do objeto quando ?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, que envolve entender como a velocidade e a aceleração se comportam em trajetórias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o raio da trajetória circular. Sabemos que quando , o objeto está na posição no plano . Como o centro da trajetória é na origem , o raio é a distância do centro até esse ponto:

Passo 3

Sabemos que o objeto tem uma velocidade constante de (o módulo da velocidade é 4 m/s). Em movimento circular uniforme, a velocidade vetorial está sempre tangente à trajetória do círculo.

Passo 4

Queremos encontrar a velocidade quando . No ponto onde , como o raio é 2 m, a posição do objeto é . A velocidade está tangente à trajetória nesse ponto, o que significa que ela está na direção positiva do eixo (horizontal).
Portanto, a velocidade vetorial é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração quando . Em movimento circular uniforme, a aceleração é sempre centrípeta, ou seja, direcionada para o centro da trajetória.
A fórmula para a aceleração centrípeta é:
Onde:
  • (velocidade constante)
  • (raio da trajetória)
Calculando:
A direção da aceleração é sempre em direção ao centro. No ponto , o centro está na origem , então a aceleração está na direção negativa do eixo (para baixo).
Portanto, a aceleração vetorial é:

Resposta

(a) A velocidade do objeto quando é .
(b) A aceleração do objeto quando é .

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